外自同构群

抽象代数的群论中，群G的外自同构群Out(G)是自同构群Aut(G)对内自同构群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。

G的一个自同构如不是内自同构，便称为外自同构。外自同构群Out(G)的元素是G的内自同构子群Inn(G)在自同构群Aut(G)中的陪集，故其元素不是外自同构，同一元素可对应到某个外自同构和任何内自同构的复合，因此不能定义G的外自同构群于G上的作用。不过因为内自同构都将群G的元素映射到同共轭类的元素，所以可定义出外自同构群在G的共轭类上的作用。

然而，若G为阿贝尔群，则G的内自同构群是平凡群，于是Out(G)可以自然地等同于Aut(G)，即是Out(G)的每个元素都对应唯一的自同构，因此Out(G)可以作用于G上。（而这时G的共轭类也各仅有一个元素。）

一些有限群的外自同构群

G	Out(G)	$|{\mbox{Out}}(G)|$
$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	2
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$（n > 2）	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$（$\varphi (n)$是欧拉函数）
$\mathbb {(} Z/p\mathbb {Z} )^{n}$（p为素数，n > 1）	$\mathrm {GL} _{n}(p)$	$\prod _{i=0}^{n-1}(p^{n}-p^{i})$
对称群$S_{n}$（n ≠ 6）	平凡群	1
$S_{6}$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	2
交错群$A_{n}$（n ≠ 6）	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	2
$A_{6}$	$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$	4

与中心对偶

群G的外自同构群，在下述意义下可以视为对偶于G的中心Z(G)：G的元素g所对应的共轭作用$x\mapsto gxg^{-1}$是自同构，由此得映射$\sigma \colon G\to \mathrm {Aut} (G)$。这映射是群同态，核是G的中心，而余核是G的外自同构群（因这映射的像是G的内自同构群）。这关系可用正合列表示：

$Z(G)\hookrightarrow G{\overset {\sigma }{\to }}\operatorname {Aut} (G)\twoheadrightarrow \operatorname {Out} (G).$

如果一个群只有平凡外自构群和平凡中心，即$\sigma$为群同构时，称之为完备群。

有限单群的外自同构群

施赖埃尔猜想指任何有限单群的外自同构群，都是可解的。按照有限单群分类去逐一检验，这项猜想已得证，但至今未有直接证明。

参考

• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7).