完备群

在数学的群论中，完备群（又称完全群，不过完全群也可以指另一种群）是指如下的一种群G：G是无中心群，并且G的所有自同构都是内自同构，也就是说G有平凡外自同构群和平凡中心。另一等价定义是将元素$g\in G$映射到自同构$x\mapsto gxg^{-1}$的群同态$G\to \operatorname {Aut} (G)$是群同构。因为此群同态的核是G的中心，而其像是G的所有内自同构；所以G有平凡中心，则此群同态是单射，而所有自同构都是内自同构，则此群同态是满射。

例子

对称群$S_{n}$除了n=2,6外，都是完备群。$S_{2}$有非平凡中心，而$S_{6}$有一个外自同构（与内自同构复合之异不别）。

性质

任何完备群都同构于其自同构群。注意其逆命题不成立：有8个元素的二面体群同构于其自同构群，这个群却不是完备群。

参考

• Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-0-387-94461-6 
• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).