数学中,局部环是只有一个极大理想交换环

局部环的概念由 Wolfgang Krull 于1938年引入,称之为 Stellenringe,英译 local ring 源自扎里斯基

定义

  为交换含幺环。若   仅有一个极大理想  ,则称  (或  )为局部环。域   称为  剩余域

  中仅有有限个极大理想,则称之为半局部环

一个局部环   上带有一个自然的  -进拓扑,使得   成为拓扑环;其开集由   生成。当  诺特环时,可证明   为豪斯多夫空间,且所有理想皆是闭理想。

  为局部环,环同态   被称为局部同态,当且仅当  

例子

  • 是局部环。
  • 形式幂级数环   是局部环,其中   是个域。极大理想是  
  • 取系数在   上,原点附近收敛半径为正的幂级数,它构成一个局部环,极大理想表法同上。
  • 赋值环皆为局部环。
  •   为任意交换环,   为素理想,则相应的局部化   是局部环;这也是局部环应用的主要场合。若   已是局部环,则  
  • 局部环的商环仍是局部环。

动机与几何诠释

局部环意在描述一个点附近的函数“芽”。设   为拓扑空间,  ,且 。考虑所有资料  ,其中    的一个开邻域,而   是连续函数。引入等价关系:

    的开邻域。

换言之,若两个函数在   附近一致,则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环  ,其元素称作在  连续函数芽,它体现了连续函数在   附近的行为。若   满足   ,则存在一个   的开邻域   及连续函数  ,使得    恒非零,因此可定义乘法逆元  。于是   是局部环,其唯一的极大理想是所有在   点取零的函数,剩余域则是  

类似想法可施于微分流形解析流形复流形,稍作修改后亦可推广至代数簇概形

在代数几何与复几何中,假设适当的有限性条件(例如凝聚性), 若一陈述对某一点的芽成立,则在该点的某个开邻域上皆成立;就此而论,局部环集中表现了一点附近的局部性质

交换代数中,局部化的技术往往可将问题化约到局部环上;因此交换代数的许多定义与结果都落在局部环的框架内。

非交换的情形

一个含么环   被称作局部环,当且仅当它满足下述等价条件:

  • R 仅有一个极大左理想。
  • R 仅有一个极大右理想。
  •  ,且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。
  •  ,且对任何元素     必有一者可逆。
  •  ,若   中某个有限和是可逆元,则其中某项必可逆。

当上述任一性质成立,则下述三者等同:

  • R 的唯一极大左理想
  • R 的唯一极大右理想
  • R 的 Jacobson根

对于交换环,上述定义化为交换局部环的原始定义。

文献