在數學中,局部環是只有一個極大理想的交換環。
局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入,稱之為 Stellenringe,英譯 local ring 源自扎裏斯基。
定義
設 為交換含幺環。若 僅有一個極大理想 ,則稱 (或 )為局部環。域 稱為 的剩餘域。
若 中僅有有限個極大理想,則稱之為半局部環。
一個局部環 上帶有一個自然的 -進拓撲,使得 成為拓撲環;其開集由 生成。當 為諾特環時,可證明 為郝斯多夫空間,且所有理想皆是閉理想。
設 為局部環,環同態 被稱為局部同態,當且僅當 。
例子
- 域是局部環。
- 形式冪級數環 是局部環,其中 是個域。極大理想是 。
- 取系數在 或 上,原點附近收斂半徑為正的冪級數,它構成一個局部環,極大理想表法同上。
- 凡賦值環皆為局部環。
- 設 為任意交換環, 為質理想,則相應的局部化 是局部環;這也是局部環應用的主要場合。若 已是局部環,則 。
- 局部環的商環仍是局部環。
動機與幾何詮釋
局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 為拓撲空間, 或 ,且 。考慮所有資料 ,其中 是 的一個開鄰域,而 是連續函數。引入等價關係:
- 且 是 的開鄰域。
換言之,若兩個函數在 附近一致,則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 ,其元素稱作在 的連續函數芽,它體現了連續函數在 附近的行為。若 滿足 ,則存在一個 的開鄰域 及連續函數 ,使得 且 恆非零,因此可定義乘法反元素 。於是 是局部環,其唯一的極大理想是所有在 點取零的函數,剩餘域則是 。
類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形,稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。
在代數幾何與複幾何中,假設適當的有限性條件(例如凝聚性), 若一陳述對某一點的芽成立,則在該點的某個開鄰域上皆成立;就此而論,局部環集中表現了一點附近的局部性質。
在交換代數中,局部化的技術往往可將問題化約到局部環上;因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。
非交換的情形
文獻