纳里奇（Narici ）与贝肯斯坦（Beckenstein ）书中，称阿劳格鲁定理为“非常重要的结果——也许是关于弱*拓扑 the Helly ）证明，闭区间上连续函数的空间
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
可数紧 斯特凡·巴拿赫 证明，任何可分 赋范向量空间 的连续对偶中，闭单位球必为弱*序列紧 （他仅考虑了序列紧 ）。
一般情况的证明，是由列奥尼达·阿劳格鲁
布尔巴基-阿劳格鲁定理 （英语：Bourbaki–Alaoglu theorem ）是尼古拉·布尔巴基 将原定理推广[ 4] [ 5] 局部凸空间 对偶拓扑 巴拿赫-阿劳格鲁定理 或弱*紧定理 （英语：weak-* compactness theorem ），也常简称为阿劳格鲁定理 （英语：Alaoglu theorem ）。
对于域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
X
{\displaystyle X}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
代数对偶 （所有线性泛函组成的空间）。两者由双线性 求值映射
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
X
×
X
#
→
K
{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }
⟨
x
,
f
⟩
:=
f
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle :=f(x)}
定义。所以，三元组
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
对偶系 典范对偶系 。
若
X
{\displaystyle X}
拓扑 ，即为拓扑向量空间 （TVS），则可分辨其上的函数连续 与否，并定义其连续对偶
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
弱*拓扑
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
弱*拓扑又称逐点收敛拓扑 ，因为给定映射
f
{\displaystyle f}
网 映射
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}
f
∙
{\displaystyle f_{\bullet }}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
(
f
i
(
x
)
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
阿劳格鲁定理
设
X
{\displaystyle X}
拓扑向量空间 （无需豪斯多夫 或局部凸
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
连续对偶 ，则对于
X
{\displaystyle X}
邻域
U
{\displaystyle U}
0
∈
U
⊆
X
{\displaystyle 0\in U\subseteq X}
极集
U
∘
=
{
x
′
∈
X
′
:
sup
x
∈
U
|
x
′
(
x
)
|
≤
1
}
⊆
X
′
,
{\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',}
在
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
弱*拓扑 [ 注 1]
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
此外，
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
若
X
{\displaystyle X}
赋范向量空间 ，则原点邻域的极集，在对偶空间中为闭，且其范数有上界。特别地，若
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
平常的对偶范数 ）。此时，定理化为以下特例：
巴拿赫-阿劳格鲁定理
若
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
算子范数 的闭单位球，为弱*拓扑
当
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
F·里斯定理
但注意，巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧 ，因为仅知闭单位球在强拓扑 内部 可能为空，除非空间为有限维。实际上，韦伊 证明，局部紧 的豪斯多夫 拓扑向量空间必为有限维。
记
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
实数域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
极集 对偶系 连续线性算子 的基本性质，可参见该些条目，以下亦会简单提及。
先列举一些常见定义和性质。当代数对偶
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
弱*拓扑
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
豪斯多夫 局部凸
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
完备
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
完全有界
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
子空间拓扑 ，等于弱*拓扑
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
x
′
∈
X
′
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
网 在其中一个拓扑中收敛到
x
′
{\displaystyle x^{\prime }}
三元组
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
对偶对
(
x
,
f
)
↦
f
(
x
)
{\displaystyle (x,f)\mapsto f(x)}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
设
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
∘
=
{
f
∈
X
′
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
U
∘
∘
=
{
x
∈
X
:
sup
f
∈
U
∘
|
f
(
x
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
二重极集
U
#
=
{
f
∈
X
#
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
极集的基本性质有
U
∘
∘
∘
⊆
U
∘
{\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }}
下证巴拿赫-阿劳格鲁定理，分若干步：
先证
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
f
∈
X
#
{\displaystyle f\in X^{\#}}
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
f
{\displaystyle f}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle |f(u)|\leq 1}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
f
i
(
u
)
→
f
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}
f
i
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
1
}
{\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle |f(u)|\leq 1}
其次，欲证
U
#
=
U
∘
{\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
U
∘
⊆
U
#
{\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}
U
#
⊆
U
∘
{\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ }}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}
f
{\displaystyle f}
U
{\displaystyle U}
有界 等价于连续 ，故
f
∈
X
′
{\displaystyle f\in X^{\prime }}
f
∈
U
∘
{\displaystyle f\in U^{\circ }}
U
#
∩
X
′
=
U
∘
∩
X
′
=
U
∘
{\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
欲证
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
完全有界 二重极集定理
U
⊆
U
∘
∘
{\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
吸收集 ，
U
∘
∘
{\displaystyle U^{\circ \circ }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
有界子集
X
{\displaystyle X}
分辨
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
完全有界
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
欲证
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
最后，欲证
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
完备拓扑向量空间
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
定理证毕 。
以下证明，仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面，需要熟悉使用拓扑空间 中的网 、积拓扑 、两者与逐点收敛 的关联（为方便起见，证明中也会给出部分细节）。同时也要了解，线性泛函为连续，当且仅当其在原点的某个邻域上有界（见次线性泛函
设向量空间
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
实数系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数系
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
r
{\displaystyle r}
B
r
:=
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
r
}
{\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}
表示以原点为球心，半径为
r
{\displaystyle r}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
紧的 闭集 。
由于
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
吸收集 ，即对每个
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
x
>
0
{\displaystyle r_{x}>0}
x
∈
r
x
U
:=
{
r
x
u
:
u
∈
U
}
{\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}}
U
#
:=
{
f
∈
X
#
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
=
{
f
∈
X
#
:
f
(
U
)
⊆
B
1
}
{\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}
表示
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
∘
⊆
U
#
{\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}
U
#
⊆
U
∘
{\displaystyle U^{\#}\subseteq U^{\circ }}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}
f
{\displaystyle f}
U
{\displaystyle U}
有界 。所以
f
{\displaystyle f}
连续线性算子 （换言之
f
∈
X
′
{\displaystyle f\in X^{\prime }}
f
∈
U
∘
{\displaystyle f\in U^{\circ }}
至此，已证明
U
∘
=
U
#
{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}
[ 注 2] 笛卡儿积
∏
x
∈
X
K
{\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }
X
→
K
{\displaystyle X\to \mathbb {K} }
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
此处
K
X
=
∏
x
∈
X
K
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }
积拓扑 。
U
∘
⊆
∏
x
∈
X
B
r
x
.
{\displaystyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
其中
B
r
x
⊆
K
{\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} }
0
{\displaystyle 0}
r
x
{\displaystyle r_{x}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
x
{\displaystyle r_{x}}
x
∈
r
x
U
{\displaystyle x\in r_{x}U}
r
x
>
0
{\displaystyle r_{x}>0}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
r
u
:=
1
{\displaystyle r_{u}:=1}
以上命题推出，
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
∏
x
∈
X
B
r
x
{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}
吉洪诺夫定理 ，该积空间 为紧[ 注 3]
B
r
x
{\displaystyle B_{r_{x}}}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
以下证明前述 命题1。代数对偶
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
K
X
=
∏
x
∈
X
K
{\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }
[ 注 4]
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
U
~
∘
:=
{
f
∈
K
X
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
是
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
U
~
∘
∩
X
#
=
U
#
=
U
∘
{\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
设
f
∈
K
X
{\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}}
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}
U
~
∘
{\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
f
{\displaystyle f}
f
∈
U
~
∘
{\displaystyle f\in {\widetilde {U}}^{\circ }}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle |f(u)|\leq 1}
f
(
u
)
∈
B
1
{\displaystyle f(u)\in B_{1}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
(
f
i
(
u
)
)
i
∈
I
→
f
(
u
)
{\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}
f
i
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
B
1
=
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
1
}
{\displaystyle B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
f
(
u
)
∈
B
1
{\displaystyle f(u)\in B_{1}}
上述证明可以推广，以论证以下命题：
设
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
Y
{\displaystyle Y}
闭子集 ，则在
Y
X
{\displaystyle Y^{X}}
P
U
:=
{
f
∈
Y
X
:
f
(
U
)
⊆
B
}
{\displaystyle P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}}
命题1为其特殊情况，取
Y
:=
K
{\displaystyle Y:=\mathbb {K} }
B
:=
B
1
{\displaystyle B:=B_{1}}
以下证明前述 命题2。对任意
z
∈
X
{\displaystyle z\in X}
Pr
z
:
∏
x
∈
X
K
→
K
{\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }
z
{\displaystyle z}
投影
U
∘
⊆
∏
x
∈
X
B
r
x
{\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
Pr
x
(
U
∘
)
⊆
B
r
x
{\displaystyle \Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}}
于是选定
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
∈
U
∘
{\displaystyle f\in U^{\circ }}
Pr
x
(
f
)
:=
f
(
x
)
∈
B
r
x
{\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}}
r
x
{\displaystyle r_{x}}
x
∈
r
x
U
{\displaystyle x\in r_{x}U}
u
x
:=
(
1
r
x
)
x
∈
U
{\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U}
f
∈
U
∘
=
U
#
{\displaystyle f\in U^{\circ }=U^{\#}}
f
{\displaystyle f}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}
u
x
∈
U
{\displaystyle u_{x}\in U}
1
r
x
|
f
(
x
)
|
=
|
1
r
x
f
(
x
)
|
=
|
f
(
1
r
x
x
)
|
=
|
f
(
u
x
)
|
≤
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1.
{\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}
所以
|
f
(
x
)
|
≤
r
x
{\displaystyle |f(x)|\leq r_{x}}
f
(
x
)
∈
B
r
x
{\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}}
巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况，对可分空间 使用，并将“紧 ”换成“序列紧 ”。此时定理断言：
可分 赋范向量空间的对偶中，闭单位球在弱*拓扑下是序列紧 。
实际上，可分空间的对偶的闭单位球上，弱*拓扑可度量 ，故紧与序列紧等价。
明确而言，设
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
x
∙
=
(
x
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}
度量 ：对于
x
,
y
∈
B
{\displaystyle x,y\in B}
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
1
∞
2
−
n
|
⟨
x
−
y
,
x
n
⟩
|
1
+
|
⟨
x
−
y
,
x
n
⟩
|
,
{\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}}
其中
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
阿尔泽拉-阿斯科利定理 的对角线证法，即可证明。
由于证明本质为构造性 （而非如一般情况，用到非构造性的选择公理），在偏微分方程 学中，有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，构造偏微分方程或变分问题 的解。举例，若有某个可分赋范空间
X
{\displaystyle X}
F
:
X
′
→
R
{\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }
x
1
,
x
2
,
…
∈
X
′
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}
F
{\displaystyle F}
(
x
n
k
)
k
{\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
下半连续 。
考虑另一个例子，设
X
=
C
0
(
R
)
{\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}
在无穷远处消失 的连续函数组成的空间，则由里斯-马可夫表示定理 ，
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
拉东测度 的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于赫利选择定理
下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。
对每个
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
D
x
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
≤
‖
x
‖
}
,
{\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},}
以及
D
=
∏
x
∈
X
D
x
.
{\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}.}
因为
D
x
{\displaystyle D_{x}}
D
{\displaystyle D}
积拓扑 中亦为紧（根据吉洪诺夫定理 ）。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
B
1
(
X
′
)
{\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}
D
{\displaystyle D}
f
∈
B
1
(
X
′
)
↦
(
f
(
x
)
)
x
∈
X
∈
D
,
{\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,}
其为单射，且对于
B
1
(
X
′
)
{\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}
D
{\displaystyle D}
欲完成定理的证明，只需证明映射的像为闭集。给定网
D
{\displaystyle D}
(
f
α
(
x
)
)
x
∈
X
→
(
λ
x
)
x
∈
X
,
{\displaystyle \left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},}
等式
g
(
x
)
=
λ
x
{\displaystyle g(x)=\lambda _{x}}
g
{\displaystyle g}
B
1
(
X
′
)
{\displaystyle B_{1}(X^{\prime })}
通常，会用到吉洪诺夫定理 来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理，所以要依赖于ZFC 公理系统，尤其是选择公理 。主流泛函分析中，许多结果皆依赖选择公理。然而，本定理在可分空间的情况（见§ 序列版本 ）并不依赖选择公理，该情况下有构造性证明 。对于不可分的情况，超滤子引理
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![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
