納里奇（Narici ）與貝肯斯坦（Beckenstein ）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲 the Helly ）證明，閉區間上連續函數的空間
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
可數緊 斯特凡·巴拿赫 證明，任何可分 賦範向量空間 的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊 （他僅考慮了序列緊 ）。
一般情況的證明，是由列奧尼達·阿勞格魯
布爾巴基-阿勞格魯定理 （英語：Bourbaki–Alaoglu theorem ）是尼古拉·布爾巴基 將原定理推廣[ 4] [ 5] 局部凸空間 對偶拓撲 巴拿赫-阿勞格魯定理 或弱*緊定理 （英語：weak-* compactness theorem ），也常簡稱為阿勞格魯定理 （英語：Alaoglu theorem ）。
對於域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
X
{\displaystyle X}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
代數對偶 （所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性 求值映射
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
X
×
X
#
→
K
{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }
⟨
x
,
f
⟩
:=
f
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle :=f(x)}
定義。所以，三元組
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
對偶系 典範對偶系 。
若
X
{\displaystyle X}
拓撲 ，即為拓撲向量空間 （TVS），則可分辨其上的函數連續 與否，並定義其連續對偶
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
弱*拓撲
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲 ，因為給定映射
f
{\displaystyle f}
網 映射
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}
f
∙
{\displaystyle f_{\bullet }}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
(
f
i
(
x
)
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
阿勞格魯定理
設
X
{\displaystyle X}
拓撲向量空間 （無需豪斯多夫 或局部凸
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
連續對偶 ，則對於
X
{\displaystyle X}
鄰域
U
{\displaystyle U}
0
∈
U
⊆
X
{\displaystyle 0\in U\subseteq X}
極集
U
∘
=
{
x
′
∈
X
′
:
sup
x
∈
U
|
x
′
(
x
)
|
≤
1
}
⊆
X
′
,
{\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',}
在
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
弱*拓撲 [ 註 1]
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
此外，
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
若
X
{\displaystyle X}
賦範向量空間 ，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
平常的對偶範數 ）。此時，定理化為以下特例：
巴拿赫-阿勞格魯定理
若
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
算子範數 的閉單位球，為弱*拓撲
當
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
F·里斯定理
但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊 ，因為僅知閉單位球在強拓撲 內部 可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊 證明，局部緊 的豪斯多夫 拓撲向量空間必為有限維。
記
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
實數域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
極集 對偶系 連續線性算子 的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。
先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
弱*拓撲
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
豪斯多夫 局部凸
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
完備
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
完全有界
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
子空間拓撲 ，等於弱*拓撲
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
x
′
∈
X
′
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
網 在其中一個拓撲中收斂到
x
′
{\displaystyle x^{\prime }}
三元組
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
對偶對
(
x
,
f
)
↦
f
(
x
)
{\displaystyle (x,f)\mapsto f(x)}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
設
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
∘
=
{
f
∈
X
′
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
U
∘
∘
=
{
x
∈
X
:
sup
f
∈
U
∘
|
f
(
x
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
二重極集
U
#
=
{
f
∈
X
#
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
極集的基本性質有
U
∘
∘
∘
⊆
U
∘
{\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }}
下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：
先證
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
f
∈
X
#
{\displaystyle f\in X^{\#}}
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
f
{\displaystyle f}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle |f(u)|\leq 1}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
f
i
(
u
)
→
f
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}
f
i
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
1
}
{\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle |f(u)|\leq 1}
其次，欲證
U
#
=
U
∘
{\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
U
∘
⊆
U
#
{\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}
U
#
⊆
U
∘
{\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ }}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}
f
{\displaystyle f}
U
{\displaystyle U}
有界 等價於連續 ，故
f
∈
X
′
{\displaystyle f\in X^{\prime }}
f
∈
U
∘
{\displaystyle f\in U^{\circ }}
U
#
∩
X
′
=
U
∘
∩
X
′
=
U
∘
{\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
欲證
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
完全有界 二重極集定理
U
⊆
U
∘
∘
{\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
吸收集 ，
U
∘
∘
{\displaystyle U^{\circ \circ }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
有界子集
X
{\displaystyle X}
分辨
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
完全有界
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
欲證
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
#
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}
最後，欲證
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
完備拓撲向量空間
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
定理證畢 。
以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓撲空間 中的網 、積拓撲 、兩者與逐點收斂 的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見次線性泛函
設向量空間
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
實數系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數系
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
r
{\displaystyle r}
B
r
:=
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
r
}
{\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}
表示以原點為球心，半徑為
r
{\displaystyle r}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
緊的 閉集 。
由於
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
吸收集 ，即對每個
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
x
>
0
{\displaystyle r_{x}>0}
x
∈
r
x
U
:=
{
r
x
u
:
u
∈
U
}
{\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}}
U
#
:=
{
f
∈
X
#
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
=
{
f
∈
X
#
:
f
(
U
)
⊆
B
1
}
{\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}
表示
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
U
#
{\displaystyle U^{\#}}
U
{\displaystyle U}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
U
∘
⊆
U
#
{\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}
U
#
⊆
U
∘
{\displaystyle U^{\#}\subseteq U^{\circ }}
f
∈
U
#
{\displaystyle f\in U^{\#}}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}
f
{\displaystyle f}
U
{\displaystyle U}
有界 。所以
f
{\displaystyle f}
連續線性算子 （換言之
f
∈
X
′
{\displaystyle f\in X^{\prime }}
f
∈
U
∘
{\displaystyle f\in U^{\circ }}
至此，已證明
U
∘
=
U
#
{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}
[ 註 2] 笛卡兒積
∏
x
∈
X
K
{\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }
X
→
K
{\displaystyle X\to \mathbb {K} }
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
此處
K
X
=
∏
x
∈
X
K
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }
積拓撲 。
U
∘
⊆
∏
x
∈
X
B
r
x
.
{\displaystyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
其中
B
r
x
⊆
K
{\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} }
0
{\displaystyle 0}
r
x
{\displaystyle r_{x}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
x
{\displaystyle r_{x}}
x
∈
r
x
U
{\displaystyle x\in r_{x}U}
r
x
>
0
{\displaystyle r_{x}>0}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
r
u
:=
1
{\displaystyle r_{u}:=1}
以上命題推出，
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
∏
x
∈
X
B
r
x
{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}
吉洪諾夫定理 ，該積空間 為緊[ 註 3]
B
r
x
{\displaystyle B_{r_{x}}}
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
以下證明前述 命題1。代數對偶
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
K
X
=
∏
x
∈
X
K
{\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }
[ 註 4]
U
∘
{\displaystyle U^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
U
~
∘
:=
{
f
∈
K
X
:
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
}
{\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}
是
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
U
~
∘
∩
X
#
=
U
#
=
U
∘
{\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
設
f
∈
K
X
{\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}}
f
∙
=
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}
U
~
∘
{\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
f
{\displaystyle f}
f
∈
U
~
∘
{\displaystyle f\in {\widetilde {U}}^{\circ }}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\displaystyle |f(u)|\leq 1}
f
(
u
)
∈
B
1
{\displaystyle f(u)\in B_{1}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
(
f
i
(
u
)
)
i
∈
I
→
f
(
u
)
{\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}
f
i
(
u
)
{\displaystyle f_{i}(u)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
B
1
=
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
1
}
{\displaystyle B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
f
(
u
)
∈
B
1
{\displaystyle f(u)\in B_{1}}
上述證明可以推廣，以論證以下命題：
設
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
Y
{\displaystyle Y}
閉子集 ，則在
Y
X
{\displaystyle Y^{X}}
P
U
:=
{
f
∈
Y
X
:
f
(
U
)
⊆
B
}
{\displaystyle P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}}
命題1為其特殊情況，取
Y
:=
K
{\displaystyle Y:=\mathbb {K} }
B
:=
B
1
{\displaystyle B:=B_{1}}
以下證明前述 命題2。對任意
z
∈
X
{\displaystyle z\in X}
Pr
z
:
∏
x
∈
X
K
→
K
{\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }
z
{\displaystyle z}
投影
U
∘
⊆
∏
x
∈
X
B
r
x
{\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
Pr
x
(
U
∘
)
⊆
B
r
x
{\displaystyle \Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}}
於是選定
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
∈
U
∘
{\displaystyle f\in U^{\circ }}
Pr
x
(
f
)
:=
f
(
x
)
∈
B
r
x
{\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}}
r
x
{\displaystyle r_{x}}
x
∈
r
x
U
{\displaystyle x\in r_{x}U}
u
x
:=
(
1
r
x
)
x
∈
U
{\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U}
f
∈
U
∘
=
U
#
{\displaystyle f\in U^{\circ }=U^{\#}}
f
{\displaystyle f}
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1
{\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}
u
x
∈
U
{\displaystyle u_{x}\in U}
1
r
x
|
f
(
x
)
|
=
|
1
r
x
f
(
x
)
|
=
|
f
(
1
r
x
x
)
|
=
|
f
(
u
x
)
|
≤
sup
u
∈
U
|
f
(
u
)
|
≤
1.
{\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}
所以
|
f
(
x
)
|
≤
r
x
{\displaystyle |f(x)|\leq r_{x}}
f
(
x
)
∈
B
r
x
{\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}}
巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空間 使用，並將「緊 」換成「序列緊 」。此時定理斷言：
可分 賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列緊 。
實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量 ，故緊與序列緊等價。
明確而言，設
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
x
∙
=
(
x
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}
度量 ：對於
x
,
y
∈
B
{\displaystyle x,y\in B}
ρ
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
1
∞
2
−
n
|
⟨
x
−
y
,
x
n
⟩
|
1
+
|
⟨
x
−
y
,
x
n
⟩
|
,
{\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}}
其中
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
阿爾澤拉-阿斯科利定理 的對角線證法，即可證明。
由於證明本質為構造性 （而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程 學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題 的解。舉例，若有某個可分賦範空間
X
{\displaystyle X}
F
:
X
′
→
R
{\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }
x
1
,
x
2
,
…
∈
X
′
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}
F
{\displaystyle F}
(
x
n
k
)
k
{\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
下半連續 。
考慮另一個例子，設
X
=
C
0
(
R
)
{\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}
在無窮遠處消失 的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理 ，
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
拉東測度 的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理
下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。
對每個
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
D
x
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
≤
‖
x
‖
}
,
{\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},}
以及
D
=
∏
x
∈
X
D
x
.
{\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}.}
因為
D
x
{\displaystyle D_{x}}
D
{\displaystyle D}
積拓撲 中亦為緊（根據吉洪諾夫定理 ）。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
B
1
(
X
′
)
{\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}
D
{\displaystyle D}
f
∈
B
1
(
X
′
)
↦
(
f
(
x
)
)
x
∈
X
∈
D
,
{\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,}
其為單射，且對於
B
1
(
X
′
)
{\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}
D
{\displaystyle D}
欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網
D
{\displaystyle D}
(
f
α
(
x
)
)
x
∈
X
→
(
λ
x
)
x
∈
X
,
{\displaystyle \left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},}
等式
g
(
x
)
=
λ
x
{\displaystyle g(x)=\lambda _{x}}
g
{\displaystyle g}
B
1
(
X
′
)
{\displaystyle B_{1}(X^{\prime })}
通常，會用到吉洪諾夫定理 來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC 公理系統，尤其是選擇公理 。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見§ 序列版本 ）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明 。對於不可分的情況，超濾子引理
Köthe, Gottfried. Topological Vector Spaces I [拓撲向量空間一]. New York: Springer-Verlag. 1969 （英語） . Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar. Introduction to Functional Analysis [泛函分析導論]. Oxford: Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851485-9（英語） . Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834 （英語） . Rudin, Walter . Functional Analysis [泛函分析] . International Series in Pure and Applied Mathematics 8 Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . 1991. ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277 （英語） . Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. GTM 8 Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135 （英語） . Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations [分析及其基礎手冊]. San Diego: Academic Press. 1997. doi:10.1016/B978-0-12-622760-4.X5000-6 （英語） . Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels [拓撲向量空間、分佈、核]. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2006 [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 （英語） .
![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
