截角七阶三角形镶嵌
在几何学中，截角七阶三角形镶嵌（英语：Triheptagonal tiling）是一种仅能被构造在双曲面上的正多边形镶嵌，是半正镶嵌的一种，由正七边形与正六边形拼合，并且将正七边形与正六边形重复排列组合，并让图形完全拼合，而且没有空隙或重叠的几何构造。每个顶点皆由两个正六边形与一个正七边形构成，在施莱夫利符号中用t{3,7}表示；此外由于结构类似于足球（仅差在足球的正五边形改成正七边形），因此又被称为双曲足球（英语：hyperbolic soccerball）[1]。足球是截角二十面体，可以视为五阶三角形镶嵌经截角变换后的像，与截角七阶三角形镶嵌非常类似，但截角二十面体是球面镶嵌，截角七阶三角形镶嵌是双曲面镶嵌。
 庞加莱圆盘模型 | ||
| 类别 | 双曲半正镶嵌 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 七角化七边形镶嵌 | |
| 识别 | ||
| 鲍尔斯缩写 | thetrat | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |     | |
| 施莱夫利符号 | t{3,7} 2t{7,3} | |
| 威佐夫符号 | 2 7 | 3 | |
| 组成与布局 | ||
| 顶点图 | 7.6.6 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | [7,3], (*732) | |
| 图像 | ||
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双曲足球
这个镶嵌因为形状类似截角二十面体即俗称的足球，因此又被称为双曲足球（英语：hyperbolic soccerball）。它可以作为在三维空间构造双曲面的一种方式。
 截角二十面体足球的 多面体和球结构 |
 六边形镶嵌 着色成 截角三角形镶嵌 |
 一个双曲足球 |
对偶镶嵌
截角七阶三角形镶嵌的对偶为七角化七边形镶嵌， 其为三阶七边形镶嵌的每一个七边形从中心点分割为七个三角形。
相关多面体及镶嵌
此双曲线镶嵌的拓扑结构与一系列顶点图为(n.6.6)且对称群为[n,3]考克斯特群的半正截角多面体或镶嵌相关：
| 对称群 *n42 [n,3] |
球面 | 欧氏镶嵌 | 紧凑型双曲镶嵌 | 仿紧型镶嵌 | 非紧型镶嵌 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *232 [2,3] D3h |
*332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] P6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[iπ/λ,3] | |
| 阶 | 12 | 24 | 48 | 120 | ∞ | ||||
| 截角 顶点 |
 2.6.6 |
 3.6.6 |
 4.6.6 |
 5.6.6 |
2.6.6 |
 7.6.6 |
 8.6.6 |
 ∞.6.6 |
 ∞.6.6 |
| 考克斯特纪号 施莱夫利符号 |
    t{3,2} |
t{3,3} |
 t{3,4} |
 t{3,5} |
 t{3,6} |
 t{3,7} |
 t{3,8} |
 t{3,∞} |
 t{3,iπ/λ} |
| 半正对偶顶点 | |||||||||
| n角化 顶点 |
 V2.6.6 |
 V3.6.6 |
 V4.6.6 |
 V5.6.6 |
 V6.6.6 |
 V7.6.6 |
 V8.6.6 |
 V∞.6.6 |
V∞.6.6 |
| 考克斯特纪号 | 
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从威佐夫结构中可得到8种不同的半正镶嵌
| 对称群：[7,3], (*732) | [7,3]+, (732) | |||||||||
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| {7,3} | t{7,3} | r{7,3} | 2t{7,3}=t{3,7} | 2r{7,3}={3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | |||
| 半正对偶 | ||||||||||
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| V73 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | |||
参见
参考文献
- ^ HOW TO BUILD YOUR OWN HYPERBOLIC SOCCER BALL MODEL (PDF). [2014-05-27]. （原始内容存档 (PDF)于2020-12-08）.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
- 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch