解析空间

数学中,解析空间是一类局部上由解析函数定义的局部赋环空间,可理解为解析版本的概形

定义

固定一个完备域  (通常取   )。

 ,其中  ,令    上的解析函数层。设   为解析函数,我们考虑它们的共同零点形成之空间   (带来自   的拓扑结构),并赋予结构层  。如此遂得到一个局部赋环空间,这类空间称作局部模型

注意到我们容许结构层中有幂零元,一如概形的情形,若一个解析空间的结构层之幂零根为零,则称之为既约的。

所谓解析空间是一个局部同构于上述空间的局部赋环空间  ;或者说是局部模型沿着开集的黏合。在   时,数学家们已有特别深入的研究,这类解析空间称为复解析空间,可以视为复流形的推广。

解析凝聚层

冈洁引理(Oka's lemma)是这方面的最初成果之一,其推论之一是:复解析空间的结构层是凝聚层,其中的任何理想层也都是凝聚层。

对复解析凝聚层已有一套细致的理论,包括一些重要的有限性定理;详阅 Grauert 与 Remmert 的著作(见参考文献)。

复概形与解析空间

具良好性质(局部诺特、分离……)的复概形   可视作解析空间;形式地说,有解析化函子

 ,映至相应的复解析空间。
 ,将   上的代数凝聚层映至   上的解析凝聚层。

于是引生两大问题:

  1. 比较复概形及其解析化的诸般性质:包括拓扑性质(连通性、紧性、分支、真态射)及上同调(或者更一般的高阶正像导函子  )等等……。
  2. 复解析空间的代数性问题:一个复解析空间称作是代数的,当且仅当它同构于某个  ,其中   是个复概形;显然存在非代数的复解析空间(例如   的单位圆盘)。能否给出代数性的一般判准?

关于第一个问题,可参阅塞尔的著名论文 Géométrie algébrique et géométrie analytique代数几何与解析几何),或 SGA 卷一附录。第二个问题则牵涉甚广。已知一维紧复流形皆是射影代数簇,这是黎曼的经典结果;至于一般的整、紧复解析空间,代数化的必要条件之一是存在“够多”亚纯函数,明确地说,即亚纯函数域的超越次数须等于空间的维度;这类空间称作 Moishezon 空间。对于紧复流形,另一个必要条件是须有 Kähler度量

文献

  • H. Grauert, R. Remmert, Analytische Stellenalgebren (1971) , Springer-Verlag (也有英译本:Coherent Analytic Sheaves
  • Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3). Société Mathématique de France. 2003: xviii+327 [1971]. ISBN 978-2-85629-141-2 (法语). 
  • J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique."页面存档备份,存于互联网档案馆Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.