作为数学的重要分支之一,吸引了大量数学家的研究,让好多人穷极一生。在多面体着色这一问题中,群起着非常重要的作用,尤其是波利亚计数定理,其中与波利亚计数定理密切相关的就是转动群,本文将介绍一些常用的转动群,方便大家使用。

常用的转动群

  • 正四面体

正四面体有4个顶点,4个,6条。,每个面都是正三角形。

转动群 顶点 个数
不动 (1)4 (1)4 (1)6 1
顶点-面心, ±120度 (1)1(3)1 (1)1(3)1 (3)2 8
棱心-棱心, 180度 (2)2 (2)2 (1)2(2)2 3
  • 正六面体

正六面体有8个顶点,6个面,12条棱,每个面都是正四边形。

转动群 顶点 个数
不动 (1)8 (1)6 (1)12 1
面心-面心, ±90度 (4)2 (1)2(4)1 (4)3 6
面心-面心,180度 (2)4 (1)2(2)2 (2)6 3
棱心-棱心,180度 (2)4 (2)3 (1)2(2)5 6
空间对角线,±120度 (3)2(1)2 (3)2 (3)4 8
  • 正八面体

正八面体有6个顶点,8个面,12条棱,每个面都是正三角形。

转动群 顶点 个数
不动 (1)6 (1)8 (1)12 1
顶点-顶点, ±90度 (1)2(4)1 (4)2 (4)3 6
顶点-顶点,180度 (1)2(2)2 (2)4 (2)6 3
棱心-棱心,180度 (2)3 (2)4 (1)2(2)5 6
面心-面心,±120度 (3)2 (3)2(1)2 (3)4 8
  • 正十二面体

正十二面体有20个顶点,12个面,30条棱,每个面都是正五边形。

转动群 顶点 个数
不动 (1)20 (1)12 (1)30 1
面心-面心, ±72度,±144度 (5)4 (1)2(5)2 (5)6 24
棱心-棱心,180度 (2)10 (2)6 (1)2(2)14 15
顶点-顶点,±120度 (1)2(3)6 (3)4 (3)10 20
  • 正二十面体

正二十面体有12个顶点,20个面,30条棱,每个面都是正三角形。

转动群 顶点 个数
不动 (1)12 (1)20 (1)30 1
顶点-顶点, ±72度,±144度 (1)2(5)2 (5)4 (5)6 24
棱心-棱心,180度 (2)6 (2)10 (1)2(2)14 15
面心-面心,±120度 (3)4 (1)2(3)6 (3)10 20