作為數學的重要分支之一,吸引了大量數學家的研究,讓好多人窮極一生。在多面體着色這一問題中,群起着非常重要的作用,尤其是波利亞計數定理,其中與波利亞計數定理密切相關的就是轉動群,本文將介紹一些常用的轉動群,方便大家使用。

常用的轉動群

  • 正四面體

正四面體有4個頂點,4個,6條。,每個面都是正三角形。

轉動群 頂點 個數
不動 (1)4 (1)4 (1)6 1
頂點-面心, ±120度 (1)1(3)1 (1)1(3)1 (3)2 8
棱心-棱心, 180度 (2)2 (2)2 (1)2(2)2 3
  • 正六面體

正六面體有8個頂點,6個面,12條棱,每個面都是正四邊形。

轉動群 頂點 個數
不動 (1)8 (1)6 (1)12 1
面心-面心, ±90度 (4)2 (1)2(4)1 (4)3 6
面心-面心,180度 (2)4 (1)2(2)2 (2)6 3
棱心-棱心,180度 (2)4 (2)3 (1)2(2)5 6
空間對角線,±120度 (3)2(1)2 (3)2 (3)4 8
  • 正八面體

正八面體有6個頂點,8個面,12條棱,每個面都是正三角形。

轉動群 頂點 個數
不動 (1)6 (1)8 (1)12 1
頂點-頂點, ±90度 (1)2(4)1 (4)2 (4)3 6
頂點-頂點,180度 (1)2(2)2 (2)4 (2)6 3
棱心-棱心,180度 (2)3 (2)4 (1)2(2)5 6
面心-面心,±120度 (3)2 (3)2(1)2 (3)4 8
  • 正十二面體

正十二面體有20個頂點,12個面,30條棱,每個面都是正五邊形。

轉動群 頂點 個數
不動 (1)20 (1)12 (1)30 1
面心-面心, ±72度,±144度 (5)4 (1)2(5)2 (5)6 24
棱心-棱心,180度 (2)10 (2)6 (1)2(2)14 15
頂點-頂點,±120度 (1)2(3)6 (3)4 (3)10 20
  • 正二十面體

正二十面體有12個頂點,20個面,30條棱,每個面都是正三角形。

轉動群 頂點 個數
不動 (1)12 (1)20 (1)30 1
頂點-頂點, ±72度,±144度 (1)2(5)2 (5)4 (5)6 24
棱心-棱心,180度 (2)6 (2)10 (1)2(2)14 15
面心-面心,±120度 (3)4 (1)2(3)6 (3)10 20