Hiaeoupyc

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引文方框

<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 0.5em 0.8em;">
</blockquote>

行列式

<math>\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \dot & \vdot \\ \ddot & \dot \end{vmatrix}</math>

逆矩阵的性质

• 逆矩阵的逆矩阵，等于原来的矩阵。

$(A^{-1})^{-1}=A\!$

• 两个矩阵先相乘再取逆，和先取逆再相乘的结果相等。

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\!$

$(kA)^{-1}={\frac {1}{k}}A^{-1}=K^{-1}A^{-1}$

• 一个矩阵先转置再取逆，和先取逆再转置的结果相等。

$(A^{\textrm {T}})^{-1}=(A^{-1})^{\textrm {T}}\!$

• 一个矩阵先取逆再求行列式，和先求行列式，再取倒数的结果相等。

$|A^{-1}|={\frac {1}{|A|}}=|A|^{-1}$

矩阵与秩

• 矩阵转置前和转置后的秩相等。

$r(A^{\textrm {T}})=r(A)\!$

• 一个m×n矩阵的秩，最大不超过m或n。

$r(A_{m\times n})\leq min(m,n)$

• 一个数k和矩阵相乘，如果k不为零，矩阵的秩不改变；如果k为零，则矩阵的秩变为零。

$r(kA)={\begin{cases}r(A)&k\neq 0\\0&k=0\end{cases}}$

• 一个矩阵的秩为零，则该矩阵为零矩阵，反之亦然。

$r(A)=0\iff A=0$

• 两个相加矩阵的秩，不大于个别矩阵的秩的和。

$r(A+R)\leq r(A)+r(R)$

• 两个相乘矩阵的秩，不大于个别矩阵的秩。

$r(AB)\leq min\left\{r(A),r(B)\right\}$

• 若A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，且AB=0，则两者个别的秩的和不大于n。

$r(A)+r(B)\leq n$

• 一个矩阵和满秩矩阵相乘，原来矩阵的秩不改变。

若P、Q均为满秩方阵，则$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)\!$