Hiaeoupyc

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引文方框

<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 0.5em 0.8em;">
</blockquote>

行列式

<math>\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \dot & \vdot \\ \ddot & \dot \end{vmatrix}</math>

逆矩陣的性質

• 逆矩陣的逆矩陣，等於原來的矩陣。

$(A^{-1})^{-1}=A\!$

• 兩個矩陣先相乘再取逆，和先取逆再相乘的結果相等。

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\!$

$(kA)^{-1}={\frac {1}{k}}A^{-1}=K^{-1}A^{-1}$

• 一個矩陣先轉置再取逆，和先取逆再轉置的結果相等。

$(A^{\textrm {T}})^{-1}=(A^{-1})^{\textrm {T}}\!$

• 一個矩陣先取逆再求行列式，和先求行列式，再取倒數的結果相等。

$|A^{-1}|={\frac {1}{|A|}}=|A|^{-1}$

矩陣與秩

• 矩陣轉置前和轉置後的秩相等。

$r(A^{\textrm {T}})=r(A)\!$

• 一個m×n矩陣的秩，最大不超過m或n。

$r(A_{m\times n})\leq min(m,n)$

• 一個數k和矩陣相乘，如果k不為零，矩陣的秩不改變；如果k為零，則矩陣的秩變為零。

$r(kA)={\begin{cases}r(A)&k\neq 0\\0&k=0\end{cases}}$

• 一個矩陣的秩為零，則該矩陣為零矩陣，反之亦然。

$r(A)=0\iff A=0$

• 兩個相加矩陣的秩，不大於個別矩陣的秩的和。

$r(A+R)\leq r(A)+r(R)$

• 兩個相乘矩陣的秩，不大於個別矩陣的秩。

$r(AB)\leq min\left\{r(A),r(B)\right\}$

• 若A為m×n矩陣，B為n×s矩陣，且AB=0，則兩者個別的秩的和不大於n。

$r(A)+r(B)\leq n$

• 一個矩陣和滿秩矩陣相乘，原來矩陣的秩不改變。

若P、Q均為滿秩方陣，則$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)\!$