扭棱立方体

几何学中,扭棱立方体(英语:snub cube[1]),又称拟立方体(英语:cubus simus[2][3])是一种由38个面组成的阿基米德立体[4],由6个正方形和32个正三角形组成,共有60条边和24个顶点[5]

扭棱立方体
扭棱立方体
(按这里观看旋转模型)
类别半正多面体
对偶多面体五角二十四面体在维基数据编辑
识别
名称扭棱立方体
参考索引U12, C24, W17
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
snic在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
施莱夫利符号
sr{4,3}在维基数据编辑
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
| 2 3 4
康威表示法sC在维基数据编辑
性质
38
60
顶点24
欧拉特征数F=38, E=60, V=24 (χ=2)
组成与布局
面的种类正三角形
正方形
面的布局
英语Face configuration
(8+24)个{3}
6个{4}
顶点图3.3.3.3.4
对称性
对称群O群
特性
对掌性
图像
立体图
3.3.3.3.4
顶点图

五角二十四面体
对偶多面体

展开图
扭棱立方体的结构,红色是扭棱前的正方形面、蓝色三角形代表扭棱前立方体顶点、黄色代表扭棱所产生的新的面

性质

扭棱立方体是一个手性多面体英语Chirality (mathematics)[6],也就是说,该多面体镜射之后会跟原本的型形状不同,无法借由旋转半周再回到原本的形状[7][8][9]。扭棱立方体是一种阿基米德立体,其所有的面都是正多边形,且每个顶点都是4个三角形和一个正方形,其顶点图计为3.3.3.3.4或34.4[10],由于所有顶点相等,因此也称为半正多面体

体积与表面积

边长为单位长的扭棱立方体表面积 体积为:

 

其中t表示三波那契常数英语tribonacci constant

 

由于扭棱立方体由6个正方形和32个正三角形组成,因此其表面积即6倍的正方形面积和32倍的正三角形面积

 

二面角

扭棱立方体有两种不同角度二面角,分别是三角形-三角形二面角和三角形-正方形二面角。其中三角形-三角形二面角馀角的馀弦值是三次方程 零点、三角形-正方形二面角馀角的馀弦值是六次方程 零点

三角形-三角形二面角以反正割表示为:

 

换算成角度约为153.23度或153度14分04秒。

三角形-正方形二面角为:

 

换算成角度约为142.98度或142度59分00秒。

其中R为边长为单位长之扭棱立方体外接球半径

正交投影

扭棱立方体的正交投影
建立于 正三角形面 正方形面
图像      
投影对称性 [3] [4]+ [2]
对偶图像      

球面镶嵌

   
正方形为中心
正投影图英语Orthographic projection 球极平面投影

几何关联

 
扭棱立方体可透过扭曲小斜方截半立方体的正方形面得到

扭棱立方体可透过将立方体的正方形面向外拉,使之不再相连,然后再将正方形面旋转一个角度,再将空隙以三角形补满而得

 
扭棱立方体
 
立方体
 
小斜方截半立方体
 
扭棱立方体

相关多面体及镶嵌

扭棱立方体是立方体经过扭棱变换后的结果,其他也是由立方体透过康威变换得到的多面体有:

对称性英语List_of_spherical_symmetry_groups: [4,3], (*432)英语Octahedral symmetry [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)英语Tetrahedral symmetry
[3+,4]
(3*2)英语pyritohedral symmetry
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} c{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    or    
      =
    or    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
             
 
对偶多面体
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V4.62/63 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                       
扭棱立体
原像  
正四面体
 
立方体
 
正八面体
 
正十二面体
 
正二十面体
扭棱  
扭棱四面体
sr{3,3}
   
扭棱立方体
sr{4,3}
扭棱八面体
sr{3,4}
扭棱十二面体
sr{5,3}
扭棱二十面体
sr{3,5}
完全扭棱  
完全扭棱四面体
β{3,3}
 
完全扭棱立方体
β{4,3}
 
二复合二十面体
β{3,4}
 
完全扭棱十二面体
β{5,3}
 
完全扭棱二十面体
β{3,5}

参见

参考文献

  1. ^ Wenninger, M. J. "The Snub Cube." Model 17 in Polyhedron Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 31, 1989.
  2. ^ Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany. [ASIN B0000DN8M2 网路书源ASIN B0000DN8M2]
  3. ^ Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
  4. ^ Geometry Technologies. "Snub Cube.". scienceu.com. 1999-07-28. (原始内容存档于2000-03-08). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Snub cubic. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  6. ^ The Snub Cube. eusebeia. 2016-09-09 [2016-08-22]. (原始内容存档于2012-03-16). 
  7. ^ Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 .
  8. ^ Archimedean Solids: Snub Cube (laevo). dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  9. ^ Archimedean Solids: Snub Cube (dextro). dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  10. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Snub Cube. 3^4.4." §3.7.7 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989. ISBN 978-0906212202

外部链接