朗伯W函数

為x乘上e的x次方的反函數

朗伯W函数(英语:Lambert W function,又称为欧米加函数乘积对数),是反函数,其中指数函数是任意复数。对于任何复数,都有:

的图像,

由于函数不是单射,因此函数多值的(除了0以外)。如果我们把限制为实数,并要求是实数,那么函数仅对于有定义,在内是多值的;如果加上的限制,则定义了一个单值函数(见图)。我们有。而在内的分支,则记为,从递减为

朗伯函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途,例如的计算。它可以用来解许多含有指数的方程,也出现在某些微分方程的解中,例如

复平面上的朗伯W函数的函数图形

微分和积分

朗伯  函数的积分形式为

 
 


  ,若  

 

把被积函数的实部和虚部分离出来:

 
 


  ,则有   ,展开分离出实部和虚部,

 ,当 时,易知  


 
 

  ,上式还可化为 

隐函数的求导法则,朗伯 函数满足以下的微分方程

  

因此:

  

函数 ,以及许多含有 的表达式,都可以用 变量代换来积分,也就是说 

 
 

其中 欧米加常数

性质

  

其中 高德纳箭号表示法

 、若 ,则 

泰勒级数

  的泰勒级数如下:

 

收敛半径 


加法定理

 
 

复数值

实部

  ,  

虚部

 ,  

模长

 

模角

 ,  

共轭值

 ,  

特殊值

 
 
 
 欧米加常数
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

应用

许多含有指数的方程都可以用 函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧,并设法化为 的形式。

例子

例子1
 
 
 
 
 
 
 

更一般地,以下的方程

 

其中

 

两边同乘:  

得到: 

同除以: 

得到: 

同除: 

 

可以用变量代换

 

化为

 

即: 

同乘: 

得出

 

 

带入 

 

因此最终的解为

 

若辅助方程: 中,

 ,

辅助方程无实数解,原方程亦无实解;

若: ,

辅助方程有一实数解,原方程有一实解:

 

若:  ,

辅助方程有二实解,设为 

 

 

 

例子2

用类似的方法,可知以下方程的解

 

 

 
例子3

以下方程的解

 

具有形式

 


例子4
 
  :   :  

取对数,

 
 
 
 

取倒数,

 
 

最终解为 :  

例子5
 

两边开 次方并除以 

 

 

化为

 

两边同乘

 

 

最终得

 

 

一般化

标准的 Lambert W 函数可用来表示以下超越代数方程式的解:

 

其中 a0, cr 为实常数。

其解为 

Lambert W 函数之一般化[1][2][3] 包括:

  • 一项在低维空间内广义相对论量子力学的应用(量子引力),实际上一种以前未知的 连结 于此二区域中,如 “Journal of Classical and Quantum Gravity”[4] 所示其 (1) 的右边式现为二维多项式 x:
 
其中 r1r2 是不同实常数,为二维多项式的根。于此函数解有单一引数 xriao 为函数的参数。如此一来,此一般式类似于 “hypergeometric”(超几何分布)函数与 “Meijer G“,但属于不同类函数。当 r1 = r2,(2)的两方可分解为 (1) 因此其解简化为标准 W 函数。(2)式代表著 “dilaton”(轴子)场的方程,可据此推导线性,双体重力问题 1+1 维(一空间维与一时间维)当两不等(静止)质量,以及,量子力学的特征能Delta位势阱给不等电位于一维空间。
  • 量子力学的一特例特征能的分析解三体问题,亦即(三维)氢分子离子[5]于此 (1)(或 (2))的右手边现为无限级数多项式之比于 x
 
其中 risi 是相异实常数而 x 是特征能和内核距离R之函数。式 (3) 与其特例表示于 (1) 和 (2) 是与一更大类型延迟微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念,多根的特殊情况得以解决[6]

Lambert "W" 函数于基础物理问题之应用并未完全即使标准情况如 (1) 最近在原子,分子,与光学物理领域可见[7] 以及黎曼假设的 Keiper-Li 准则 [8]

图象

计算

W函数可以用以下的递推关系算出:

 

参考来源

  1. ^ T.C. Scott and R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (April 2006), pp.41-47, [1]; Arxiv [2]页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ T.C. Scott, G. Fee and J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function"页面存档备份,存于互联网档案馆), SIGSAM, vol. 47, no. 3, (September 2013), pp. 75-83
  3. ^ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst and W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function"页面存档备份,存于互联网档案馆), SIGSAM, vol. 48, no. 2, (June 2014), pp. 42-56
  4. ^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; Arxiv [4]页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]页面存档备份,存于互联网档案馆); Arxiv [6]页面存档备份,存于互联网档案馆
  6. ^ Aude Maignan, T.C. Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 50, no. 2, (June 2016), pp. 45-60
  7. ^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]页面存档备份,存于互联网档案馆
  8. ^ R.C. McPhedran, T.C Scott and Aude Maignan, "The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions", ACM Commun. Comput. Algebra, vol. 57, no. 3, (December 2023), pp. 85-110

外部链接