朗伯W函數

為x乘上e的x次方的反函數

朗伯W函數(英語:Lambert W function,又稱為歐米加函數乘積對數),是反函數,其中指數函數是任意複數。對於任何複數,都有:

的圖像,

由於函數不是單射,因此函數多值的(除了0以外)。如果我們把限制為實數,並要求是實數,那麼函數僅對於有定義,在內是多值的;如果加上的限制,則定義了一個單值函數(見圖)。我們有。而在內的分支,則記為,從遞減為

朗伯函數不能用初等函數來表示。它在組合數學中有許多用途,例如的計算。它可以用來解許多含有指數的方程,也出現在某些微分方程的解中,例如

複平面上的朗伯W函數的函數圖形

微分和積分

朗伯  函數的積分形式為

 
 


  ,若  

 

把被積函數的實部和虛部分離出來:

 
 


  ,則有   ,展開分離出實部和虛部,

 ,當 時,易知  


 
 

  ,上式還可化為 

隱函數的求導法則,朗伯 函數滿足以下的微分方程

  

因此:

  

函數 ,以及許多含有 的表達式,都可以用 變量代換來積分,也就是說 

 
 

其中 歐米加常數

性質

  

其中 高德納箭號表示法

 、若 ,則 

泰勒級數

  的泰勒級數如下:

 

收斂半徑 


加法定理

 
 

複數值

實部

  ,  

虛部

 ,  

模長

 

模角

 ,  

共軛值

 ,  

特殊值

 
 
 
 歐米加常數
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

應用

許多含有指數的方程都可以用 函數來解出。一般的方法是把未知數都移到方程的一側,並設法化為 的形式。

例子

例子1
 
 
 
 
 
 
 

更一般地,以下的方程

 

其中

 

兩邊同乘:  

得到: 

同除以: 

得到: 

同除: 

 

可以用變量代換

 

化為

 

即: 

同乘: 

得出

 

 

帶入 

 

因此最終的解為

 

若輔助方程: 中,

 ,

輔助方程無實數解,原方程亦無實解;

若: ,

輔助方程有一實數解,原方程有一實解:

 

若:  ,

輔助方程有二實解,設為 

 

 

 

例子2

用類似的方法,可知以下方程的解

 

 

 
例子3

以下方程的解

 

具有形式

 


例子4
 
  :   :  

取對數,

 
 
 
 

取倒數,

 
 

最終解為 :  

例子5
 

兩邊開 次方並除以 

 

 

化為

 

兩邊同乘

 

 

最終得

 

 

一般化

標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解:

 

其中 a0, cr 為實常數。

其解為 

Lambert W 函數之一般化[1][2][3] 包括:

  • 一項在低維空間內廣義相對論量子力學的應用(量子引力),實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中,如 「Journal of Classical and Quantum Gravity」[4] 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x:
 
其中 r1r2 是不同實常數,為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 xriao 為函數的參數。如此一來,此一般式類似於 「hypergeometric」(超幾何分布)函數與 「Meijer G「,但屬於不同類函數。當 r1 = r2,(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 「dilaton」(軸子)場的方程,可據此推導線性,雙體重力問題 1+1 維(一空間維與一時間維)當兩不等(靜止)質量,以及,量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。
  • 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題,亦即(三維)氫分子離子[5]於此 (1)(或 (2))的右手邊現為無限級數多項式之比於 x
 
其中 risi 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。由於哈代的「虛假導數」概念,多根的特殊情況得以解決[6]

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子,分子,與光學物理領域可見[7] 以及黎曼假設的 Keiper-Li 準則 [8]

圖象

計算

W函數可以用以下的遞推關係算出:

 

參考來源

  1. ^ T.C. Scott and R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (April 2006), pp.41-47, [1]; Arxiv [2]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  2. ^ T.C. Scott, G. Fee and J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function"頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), SIGSAM, vol. 47, no. 3, (September 2013), pp. 75-83
  3. ^ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst and W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function"頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), SIGSAM, vol. 48, no. 2, (June 2014), pp. 42-56
  4. ^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; Arxiv [4]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  5. ^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館); Arxiv [6]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  6. ^ Aude Maignan, T.C. Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 50, no. 2, (June 2016), pp. 45-60
  7. ^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  8. ^ R.C. McPhedran, T.C Scott and Aude Maignan, "The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions", ACM Commun. Comput. Algebra, vol. 57, no. 3, (December 2023), pp. 85-110

外部連結