正规态射

范畴论中,正规态射是一类可以自然地分解成单射满射态射。使所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴

定义

 为一个有有限射影极限与归纳极限范畴。设 为态射。设 的投影,而 上积的内射。定义:

  • 上像 
  •  

根据极限性质,自然态射 满射,而 则是单射。此外还存在唯一一个态射 ,使得合成态射

 

正好是 

 同构,则称 正规态射;正规态射可以写成满射与单射的合成。所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴

性质

  • 以下三个条件等价:
    •  为严格满射
    •  为同构
    • 序列 正合
  • 如果 同时是严格满射与严格单射,则 为同构。
  •  恒为严格满射。

例子

正规态射的重要特性在于它分解为满射与单射,此分解在阿贝尔范畴中扮演关键角色。

对于集合范畴范畴以及一个上的范畴,严格性并不成问题。一旦引入额外结构,状况将大大地复杂化:例如取 拓扑向量空间范畴, 中存在所有有限的积与上积。 中的态射 连续线性映射,其像 是空间 配与 的子空间拓扑,上像 则是 配与 商拓扑;后者一般较前者为细。

文献

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部链接