正規態射
定義
設 為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設 為態射。設 為積的投影,而 為上積的內射。定義:
- 上像:
- 像:
根據極限性質,自然態射 是滿射,而 則是單射。此外還存在唯一一個態射 ,使得合成態射
正好是 。
若 為同構,則稱 為正規態射;正規態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正規態射的範疇稱為正規範疇。
性質
- 以下三個條件等價:
- 為嚴格滿射
- 為同構
- 序列 正合
- 如果 同時是嚴格滿射與嚴格單射,則 為同構。
- 恆為嚴格滿射。
例子
正規態射的重要特性在於它分解為滿射與單射,此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。
對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇,嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構,狀況將大大地複雜化:例如取 為拓撲向量空間範疇, 中存在所有有限的積與上積。 中的態射 即連續線性映射,其像 是空間 配與 的子空間拓撲,上像 則是 配與 的商拓撲;後者一般較前者為細。
文獻
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490