特征标理论

数学里,尤其是在群表示理论里,一个群表示的特征标character)是一个将的每个元素映射对应矩阵的迹(Trace)的函数。特征标蕴藏著群的许多重要性质,且因此可以用来做群的研究。

特征标理论是对有限简单群分类的一个有重要的工具。在范特-汤普逊定理证明接近一半的地方会有一个用到特征标的复杂计算。另外还有一些较简单但一样重要的结论需用在特征标理论,如伯恩赛德定理理查·布劳尔铃木通夫所证出之定理,此定理表示有限简单群不会有一个为广义四元群西洛2-子群

定义

V为一个F上的有限维向量空间且设 为一个群GV上的表示。则ρ的特征标即为如下给定之函数

 

其中 为矩阵的迹数

一个特征标χρ若被称为是不可约的,即表示ρ是一个不可约表示。若被称为是线性的,则表示ρ的维度等于1。χρ为集合

 

其中 是χρ在群单位元上的值。当ρ是Gk维表示且1为G的单位元时,

 

特征标群的情况不同,一个群的特征标通常不会自己“形成”一个群。

拓扑群的情形

调和分析中,通常定义局部紧阿贝尔拓扑群   的特征标为连续群同态  ;在此,  表示单位圆构成的群,等价地说就是  

部份作者将特征标的定义放宽为连续群同态  ,而将取值在   者称作么特征标。其他人则保留原初定义,而将这类广义的特征标称为拟特征标

  的全体特征标构成一个群  ,群二元运算的定义是  ,称为对偶群。庞特里雅金对偶性总结了对偶群的一般性质。

性质

  • 特征标是一个类函数,即为对一个共轭类内的所有元素来说,χ会是个常数。
  • 两个同构表示会有相同的特征标。若系数域的特征char(F)=0,则两个表示为同构的,若且唯若它们有著完全相同的特征标。
  • 若一个表示可以是多个子表示的直和: ,则其相对应的特征标会是其所有子表示的特征标之和: 
  • 在有限群的情况下,每个特征标 都是n个m次单位根之和,其中n为表示内域的维度,m则是g的
  • F代数封闭的且char(F)不可以整除G|,则G的不可约特征标之数量等于G共轭类数:  

算术性质

  G的两个表示,则有下列的等式成立:

 
 
 
 
 

其中 为两者的直和 为两者的张量积  共轭转置、以及Alt称为交替积 Sym则称为对称方,其值由下式决定

 .

特征标的诱导与限制

  为有限群,  为其子群,而   为 G 的表示,其特征标记为  。令   为诱导表示   的特征标;根据弗罗贝尼乌斯互反定理,对所有   的特征标  ,恒有下述等式

 

此等式可用来刻划类函数  。事实上,若选定陪集分解

 

还可以明确地写下   的取值:

 

特征标表

一个有限群的不可约特征标可以形成一个特征标表,其蕴含著许多有关群G在紧致形式时的有用资讯。每一行标记著一个不可约特征标且包含著此一特征标在每个G的共轭类上的值。

下面是有三个元素之循环群C3的特征标表:

  (1) (u) (u2)
1 1 1 1
χ1 1 u u2
χ2 1 u2 u

其中的u为一个原三次单位根。

特征标表总会是正方的,因为不可约表示的数目总会相等于共轭类的数目。特征标表的第一个行总会是1,其对应至群的当然表示上。

正交关系

有关特征标表最重要的性质之一为其在行与列上都会有著正交关系

对特征标(即对特征标表中的行)的内积由下给出:

  其中   表示  g上的值的复数共轭。

对于此一内积而言,不可约特征标两两正规正交:  

对表中的列的正交关系则由下列给出:

 ,其和为 

其中相加的范围为所有G的不可约特征标 ,而符号 则表示为g的共轭类之大小。

此一正交关系可以帮助许多的运算,如:

  • 将一个未知特征标分解成不可约特征标的线性组合。
  • 当只有一些不可约特征标为可知时,建构其完整的特征标表。
  • 求出群的共轭类的表示的中心化子的阶。
  • 求出群的阶。

特征标表性质

一个群G的某些性质可以由其特征表中推导出来:

  • G的阶就是表上所有特征标之在1上的取值的平方:(χ(1))2的总和(伯恩赛德公式)。
  • G可换的若且唯若对每个在表上的特征标,χ(1) = 1。
  • G有一个非当然正规子群(即G不是一个简单群)若且唯若对于某些表上的非当然特征标χ和一些于G内的非单位元素g,会有χ(1) = χ(g)。

特征标表通常不会将群分至同构:例如,四元群Q和有8个元素的二面体群D4会有同样的特征标表。

有限群之特别例子,详见有限群表示理论

一维表示的特征标会形成一个特征标群,其和数论中有著很重要的关连。

参考文献