莫比乌斯-坎特八边形

在几何学中，莫比乌斯－坎特八边形是一个复正多边形，其位于$\mathbb {C} ^{2}$复希尔伯特平面中由八个顶点和八个三元棱组成，是一个自身对偶的多边形。考克斯特将其命名为莫比乌斯－坎特八边形，用于共享复排布结构，如莫比乌斯－坎特排布。

莫比乌斯－坎特八边形
4个红色三角形和4个蓝色三角形分别代表其8条三元边
类型	八边形
对偶	自身对偶
边	8个3{}
顶点	8
施莱夫利符号	3{3}3
考克斯特符号
对称群	3[3]3, order 24 （谢泼德群）
特性	正、复

这种形状由杰弗里·科林·谢泼德于1952年发现，其将此形状根据其对称性以3(24)3表示，考克斯特将这种对称性计为₃[3]₃，其与24阶的二元四面体群同构。

性质

莫比乌斯－坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构，其在施莱夫利符号中可以用₃{3}₃来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同，莫比乌斯－坎特八边形位于复希尔伯特平面，且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点，称为三元棱或三元边（Trion），这种几何结构在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示。

顶点座标

莫比乌斯－坎特八边形可以于$\mathbb {C} ^{3}$空间中给出，其为：

(ω,−1,0)	(0,ω,−ω2)	(ω2,−1,0)	(−1,0,1)
(−ω,0,1)	(0,ω2,−ω)	(−ω2,0,1)	(1,−1,0)

其中$\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$。

作为一种排布

莫比乌斯－坎特八边形₃{3}₃的排布矩阵为：

$\left[{\begin{matrix}8&3\\3&8\end{matrix}}\right]$

实空间的代表

在实空间中，莫比乌斯－坎特八边形可以用四维空间的正十六胞体来代表，其共用了相同的8个顶点。当莫比乌斯－坎特八边形的8条三元边被绘制为三条独立的边时，即可在当莫比乌斯－坎特八边形中观察到正十六胞体的24条边。在下图中这8个三角形被以每个个分成一组，分别涂上蓝色和红色。下图中，B₄投影在两个颜色组之间以两个拥有不同对称性的方向进行投影。此外，所代表的实空间形状也可以是一个β₄的四维正轴形。

正投影图

考克斯特平面	B4		F4
图
对称性	[8]		[12/3]

参见

• 黑塞二十七面体、截半黑塞二十七面体：由莫比乌斯－坎特八边形组成的多面体。