超完全数

超完全数（superperfect number）是指一正整数 n 满足下式：

$\sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,$

其中σ为除数函数。超完全数可视为一种广义的完全数，其英文superperfect number是由Suryanarayana在1969年开始使用。

以4为例，4的因数有1, 2, 4，除数函数$\sigma (4)=1+2+4=7$，其因数为1, 7，$\sigma (\sigma (4))=1+7=8=4\times 2$，因此, 4是超完全数。

头几个超完全数是：

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 （OEIS数列A019279）。

若n是偶数的超完全数，则n一定是2的乘幂2^k，而且2^k+1-1为梅森素数。

目前还不知道是否存在奇数的超完全数，若存在奇数的超完全数n，n会是一个平方数，且n或σ(n)需为三个相异质数的倍数。已知在小于7x10²⁴的整数中没有奇数的超完全数。

广义的超完全数

完全数及超完全数都可视为是范围更大的m-超完全数的特例，m-超完全数满足下式：

$\sigma ^{m}(n)=2n,$

m=1及2时分别是完全数及超完全数，若m ≥ 3，不存在偶数的m-超完全数。

m-超完全数则是(m,k)-完全数的特例，(m,k)-完全数满足下式：

$\sigma ^{m}(n)=kn\,.$

若依此表示法，一般的完全数为(1,2)-完全数，多重完全数是(1,k)-完全数，超完全数是(2,2)-完全数，m-超完全数则是(m,2)-完全数。以下是一个(m,k)-完全数的范例：

m	k	(m,k)-完全数	OEIS 数列
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	任意数	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	任意数	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

参考资料

• Superperfect Number at PlanetMath.
• Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. Iterating the sum-of-divisors function. Experimental Mathematics. 1996, 5: 93–100. Zbl 0866.11003. 
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Suryanarayana, D. Super perfect numbers. Elem. Math. 1969, 24: 16–17. Zbl 0165.36001.