连续性方程式

在物理学里，连续性方程式（英语：continuity equation）是描述守恒量传输行为的偏微分方程式。在适当条件下，质量、能量、动量、电荷等都是守恒量，因此很多传输行为都可以用连续性方程式来描述。

连续性方程式是局域性的守恒定律方程式。与全域性的守恒定律相比，这种守恒定律条件更强。本条目内的所有关于连续性方程式的范例都表达了同样的思想──在任意区域内某种守恒量总量的改变，等于从边界进入或离去的数量；守恒量不能够增加或减少，只能够从某一个位置迁移到另一个位置。

每一种连续性方程式都既可以用积分形式表达（使用通量积分），描述任意有限区域内的守恒量；也可以用微分形式表达（使用散度算符），描述任意位置的守恒量。其微分形式与积分形式通过散度定理相互关联。

概论

微分形式

一般的连续性方程式的微分形式为

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =s$ ；

其中，$\varphi$ 是某物理量 $q$ 的密度（每单位体积的物理量），$\mathbf {f}$ 是 $q$ 的流量密度（每单位面积每单位时间的物理量）的向量函数（vector function），$s$ 是 $q$ 在每单位体积每单位时间的生成量。

假若 $s>0$ 则称 $s$ 为“源点”；假若 $s<0$ 则称 $s$ 为“汇点”。假设 $\varphi$ 是没有产生或湮灭的守恒量，（例如，电荷），则 $s=0$ ，连续性方程式变为

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =0$ 。

从简单的“能量连续性方程式”到复杂的纳维-斯托克斯方程式，这方程式可以用来表示任意连续性方程式。该方程式也是平流方程式（advection equation）的推广。

另一些物理学中的方程式也具有类似连续性方程式的数学形式，例如电场的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被称为连续性方程式，因为 $\mathbf {f}$ 并不代表真实物理量的流动。

积分形式

在连续性方程式的积分形式里，$\mathbb {S}$ 是包住体积 $\mathbb {V}$ 的任意闭曲面。如同图内左边的曲面（以蓝色显示），$\mathbb {S}$ 没有边界；而图内右边的曲面都有边界（以红色显示）。

根据散度定理，连续性方程式可以写为等价的积分形式：

${\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =S$ ；

其中，$\mathbb {S}$ 是包住体积 $\mathbb {V}$ 的任意固定（不随时间改变）闭曲面，$Q$ 是在体积 $\mathbb {V}$ 内的 $q$ 总量，$S=\int _{\mathbb {V} }s\ \mathrm {d} ^{3}r$ 是在积分体积 $\mathbb {V}$ 内源点与汇点的总生成量每单位时间，$\mathrm {d} \mathbf {a}$ 是微小面向量积分元素。

举一简例，假设 $\mathbb {V}$ 是台北101大楼，$Q$ 是在大楼内某时间的总人数，$\mathbb {S}$ 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等，共同组成的曲面，则连续性方程式表明，当人们进入大楼时（代表穿过曲面的内向通量），或当大楼里面的孕妇生产时（代表源点的 $s>0$ ），在大楼里面的总人数会增加；而当人们离开大楼时（代表穿过曲面的外向通量），在大楼里面的总人数会减少。

电磁理论

主条目：电荷守恒

在电磁理论里，连续性方程式可以视为一条经验定律，表达局域电荷守恒，或是从马克士威方程组推导出的结果。“电荷连续性方程式”表明，电荷密度 $\rho$ 的变率与电流密度 $\mathbf {J}$ 的散度，两者的代数和等于零：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$ 。

马克士威-安培方程式满足局域电荷守恒的连续性方程式

马克士威-安培方程式为

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\ \epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}$ ；

其中，$\mathbf {B}$ 是磁场，$\mathbf {E}$ 是电场，$\mu _{0}$ 是磁常数，$\epsilon _{0}$ 是电常数。

取散度于方程式的两边，由于旋度的散度必是零，

$0=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}$ 。

高斯定律的方程式为

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$ 。

将这方程式代入，可以得到

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$。

电流是电荷的流量。连续性方程式可以这样论述：假若电荷从某微小体积元素移动出去（电流密度的散度是正值），则在那微小体积元素内的总电荷量会减少，电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉，连续性方程式就是电荷守恒。

四维电流

四维电流密度定义为

$J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (c\rho ,\mathbf {J} )=(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})$ ；

其中，$\alpha$ 标记时空坐标，$c$ 是光速。

电荷守恒可以简洁地由四维电流密度的散度表达，即连续性方程式

$\partial _{\alpha }J^{\alpha }=0$ ；

其中，$\partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}},{\frac {\partial }{\partial r^{1}}},{\frac {\partial }{\partial r^{2}}},{\frac {\partial }{\partial r^{3}}}\right)=\left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ 。

流体力学

在流体力学里，连续性方程式表明，在任何稳定态过程中，质量进入物理系统的速率等于离开的速率。。此时连续性方程式与电路学的克希荷夫电流定律类似。“质量连续性方程式”的微分形式为

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$；

其中，$\rho$ 是流体质量密度，$\mathbf {u}$ 是流速向量场，两者相乘后为质量通量。

假设流体是不可压缩流，则密度 $\rho$ 是常数，质量连续性方程式简化为体积连续性方程式：

$\nabla \cdot (\mathbf {u} )=0$ 。

这意味著，在所有位置，速度场的散度等于零；也就是说，局域的体积变率为零。

在另一方面，纳维-斯托克斯方程式是一个向量连续性方程式，描述动量守恒。

能量

根据能量守恒，能量只能够传输，不能够生成或湮灭，这意味着“能量连续性方程式”。这是在热力学定律（Laws of thermodynamics）外，能量守恒的另一种数学表述，即，

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$ ；

其中，$u$ 是能量密度（单位体积的能量），$q$ 是能量通量向量（数值大小为单位截面面积每单位时间传输的能量，方向为截面的外法线方向）。

根据傅立叶定律（Fourier's law），对于均匀传导介质，

$\mathbf {q} =-k\nabla T$ ；

其中，$k$ 是热导率，$T$ 是温度函数。

能量连续性方程式又可写为热传导方程，

${\frac {\partial u}{\partial t}}-k\nabla ^{2}T=0$ 。

量子力学

主条目：机率流

在量子力学里，从机率守恒可以得到“机率连续性方程式”假设一个量子系统的波函数为 $\Psi (x,t)$ ，机率流 $\mathbf {J}$的定义为

$\mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )$ ；

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是质量，$\Psi ^{*}$ 是 $\Psi$ 是共轭复数，${\mbox{Im}}()$ 是取括弧内项目的虚部。

连续方程式与机率守恒定律

机率流满足量子力学的连续方程式：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0$ ；

其中，$\rho =|\Psi |^{2}$ 是机率密度。

应用高斯公式，可以等价地以积分方程式表示，

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0$ ；(1)

其中，$\mathbb {V}$ 是任意三维区域，$\mathbb {S}$ 是 $\mathbb {V}$ 的边界曲面。

方程式 (1) 左边第一个体积积分项（不包括对于时间的偏微分）是测量粒子位置时粒子在 $\mathbb {V}$ 内的机率。第二个曲面积分是机率流出 $\mathbb {V}$ 的通量。总之，方程式 (1) 表明，粒子在三维区域 $\mathbb {V}$ 内的机率对于时间的微分，与其流出三维区域的机率 $\mathbb {V}$ 的通量，两者之和等于零。

连续方程式推导

测得粒子在三维区域 $\mathbb {V}$ 内的机率 $P$ 是

$P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$ 。

机率对于时间的导数是

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ ；(2)

注意到 $\Psi$ 的含时薛丁格方程式为

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi$ ；

其中，$U(\mathbf {r} )$ 是位势。

将含时薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

应用一则向量恒等式，可以得到

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}$ 。

这方程式右手边第一项与第三项互相抵销，将抵销后的方程式代入，

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

将机率密度方程式与机率流定义式代入，

$\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

该等式对于任意三维区域 $\mathbb {V}$ 都成立，所以被积项目在任何位置都必须等于零：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0$ 。

参阅

• 欧拉方程式
• 诺特定理