在物理學裏,連續性方程式(英語:continuity equation)是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下,質量、能量、動量、電荷等都是守恆量,因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。
連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比,這種守恆定律條件更強。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變,等於從邊界進入或離去的數量;守恆量不能夠增加或減少,只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。
每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達(使用通量積分),描述任意有限區域內的守恆量;也可以用微分形式表達(使用散度算符),描述任意位置的守恆量。其微分形式與積分形式通過散度定理相互關聯。
概論
電磁理論
在電磁理論裏,連續性方程式可以視為一條經驗定律,表達局域電荷守恆,或是從麥克斯韋方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明,電荷密度 的變率與電流密度 的散度,兩者的代數和等於零:
- 。
麥克斯韋-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式
麥克斯韋-安培方程式為
- ;
其中, 是磁場, 是電場, 是磁常數, 是電常數。
取散度於方程式的兩邊,由於旋度的散度必是零,
- 。
高斯定律的方程式為
- 。
將這方程式代入,可以得到
- 。
電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述:假若電荷從某微小體積元素移動出去(電流密度的散度是正值),則在那微小體積元素內的總電荷量會減少,電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺,連續性方程式就是電荷守恆。
四維電流
四維電流密度定義為
- ;
其中, 標記時空坐標, 是光速。
電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達,即連續性方程式
- ;
其中, 。
流體力學
在流體力學裏,連續性方程式表明,在任何穩定態過程中,質量進入物理系統的速率等於離開的速率。[1][2]。此時連續性方程式與電路學的基爾霍夫電流定律類似。「質量連續性方程式」的微分形式為[1]
- ;
其中, 是流體質量密度, 是流速向量場,兩者相乘後為質量通量。
假設流體是不可壓縮流,則密度 是常數,質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式:[1]
- 。
這意味着,在所有位置,速度場的散度等於零;也就是說,局域的體積變率為零。
在另一方面,納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式,描述動量守恆。
能量
根據能量守恆,能量只能夠傳輸,不能夠生成或湮滅,這意味着「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律(Laws of thermodynamics)外,能量守恆的另一種數學表述,即,
- ;
其中, 是能量密度(單位體積的能量), 是能量通量向量(數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量,方向為截面的外法線方向)。
根據傅立葉定律(Fourier's law),對於均勻傳導介質,
- ;
其中, 是熱導率, 是溫度函數。
能量連續性方程式又可寫為熱傳導方程式,
- 。
量子力學
在量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假設一個量子系統的波函數為 ,機率流 的定義為
- ;
其中, 是約化普朗克常數, 是質量, 是 是共軛複數, 是取括弧內項目的虛部。
連續方程式與機率守恆定律
機率流滿足量子力學的連續方程式:
- ;
其中, 是機率密度。
應用高斯公式,可以等價地以積分方程式表示,
- ;(1)
其中, 是任意三維區域, 是 的邊界曲面。
方程式 (1) 左邊第一個體積積分項(不包括對於時間的偏微分)是測量粒子位置時粒子在 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域 內的機率對於時間的微分,與其流出三維區域的機率 的通量,兩者之和等於零。
連續方程式推導
測得粒子在三維區域 內的機率 是
- 。
機率對於時間的導數是
- ;(2)
注意到 的含時薛定諤方程式為
- ;
其中, 是位勢。
將含時薛定諤方程式代入方程式 (2) ,可以得到
- 。
應用一則向量恆等式,可以得到
- 。
這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,
- 。
將機率密度方程式與機率流定義式代入,
- 。
該等式對於任意三維區域 都成立,所以被積項目在任何位置都必須等於零:
- 。
參閱
參考文獻