部分等距映射

数学的分支泛函分析中,部分等距映射希尔伯特空间之间的一种线性映射,它在正交补上的限制是一个等距映射

其核的正交补称为始子空间,其值域称为终子空间。本文中,算子 的始、终子空间分别记作

一般定义

部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设   是希尔伯特空间   的一个闭子集 ,而    上的等距映射,则我们可以定义    的一个扩张     的正交补上的值为。因此,部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。

基于*-半群英语Semigroup with involution,可以用更为抽象的方式来定义部分等距(以及投影),该定义与上文的定义是重合的。

有限维情况的特性

在有限维向量空间中,矩阵   是一个部分等距当且仅当   是到其支撑集投影。相比之下,等距映射的定义是更强的:矩阵   是一个等距映射当且仅当   。换句话说,等距对称是一种单射的部分等距映射。

通过选择适当的基,任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如   的矩阵,也就是说,其前   列表示了一个等距映射,而所有其他列则都为零。

注意对于任何等距映射   ,其埃尔米特共轭   都是一个部分等距映射,尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。

算子代数

算子代数中,可用下面的方式[需要更深入解释]引入始子空间和终子空间:

 

C*-代数

对于C*-代数,由于C*-性质,存在等价链:

 

因此可由上式中的任意一条来定义部分等距,而到始、终子空间的投影分别为  

一对按等价关系划分[需要更深入解释]的投影:

 

它在C*-代数的K-理论冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。

几类重要的部分等距映射

投影算子

任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距:

 

嵌入映射

任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距:

 

幺正算子

任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距:

 

例子

幂零矩阵

在二维复希尔伯特空间上的矩阵

 

是一个部分等距,其始子空间为

 

而终子空间为

 

一般有限维示例

有限维中的其他可能例子有 这显然不是等距映射,因为列之间不正交。然而,它的支撑集是   线性生成空间,若将   限制在这个空间上,就得到一个等距映射(特别地,也是一个幺正算子)。类似地,可以验证   ,也就是说   是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于方阵。例如, 该矩阵的支撑集由    张成,并在该子空间上成为一等距映射(特别地,是其上的恒等映射)。

还有一个例子 这次   在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。

容易验证   以及   ,这表明了   在其支撑集   与其值域   间的等距性质。

左平移和右平移

平方可和序列空间上的左平移和右平移算子

 
 

有下列关系

 

而左平移和右平移算子是部分等距映射,其始子空间由以下向量构成

 

其终子空间则是:

 

参考资料

外部链接