部分等距映射

數學的分支泛函分析中,部分等距映射希爾伯特空間之間的一種線性映射,它在正交補上的限制是一個等距映射

其核的正交補稱為始子空間,其值域稱為終子空間。本文中,算子 的始、終子空間分別記作

一般定義

部分等距的概念可以用其他等價的方式定義。設   是希爾伯特空間   的一個閉子集 ,而    上的等距映射,則我們可以定義    的一個擴張     的正交補上的值為。因此,部分等距有時也被定義在閉集上局部定義了的等距映射。

基於*-半群英語Semigroup with involution,可以用更為抽象的方式來定義部分等距(以及投影),該定義與上文的定義是重合的。

有限維情況的特性

在有限維向量空間中,矩陣   是一個部分等距當且僅當   是到其支撐集投影。相比之下,等距映射的定義是更強的:矩陣   是一個等距映射當且僅當   。換句話說,等距對稱是一種單射的部分等距映射。

通過選擇適當的基,任何有限維的部分等距映射都可以表示為形如   的矩陣,也就是說,其前   列表示了一個等距映射,而所有其他列則都為零。

注意對於任何等距映射   ,其埃爾米特共軛   都是一個部分等距映射,儘管並非每個部分等距映射都具有這種形式。

算子代數

算子代數中,可用下面的方式[需要更深入解釋]引入始子空間和終子空間:

 

C*-代數

對於C*-代數,由於C*-性質,存在等價鏈:

 

因此可由上式中的任意一條來定義部分等距,而到始、終子空間的投影分別為  

一對按等價關係劃分[需要更深入解釋]的投影:

 

它在C*-代數的K-理論馮諾依曼代數中的Murray-馮諾依曼投影理論中發揮着重要作用。

幾類重要的部分等距映射

投影算子

任何正交投影算子都是始、終子空間為同一子空間的部分等距:

 

嵌入映射

任何等距嵌入映射都是始子空間為全空間的部分等距:

 

幺正算子

任何幺正算子都是始、終子空間為全空間的部分等距:

 

例子

冪零矩陣

在二維復希爾伯特空間上的矩陣

 

是一個部分等距,其始子空間為

 

而終子空間為

 

一般有限維示例

有限維中的其他可能例子有 這顯然不是等距映射,因為列之間不正交。然而,它的支撐集是   線性生成空間,若將   限制在這個空間上,就得到一個等距映射(特別地,也是一個幺正算子)。類似地,可以驗證   ,也就是說   是到其支撐集上的投影。部分等距不一定對應於方陣。例如, 該矩陣的支撐集由    張成,並在該子空間上成為一等距映射(特別地,是其上的恆等映射)。

還有一個例子 這次   在其支撐集上表現為一個非平凡的等距映射。

容易驗證   以及   ,這表明了   在其支撐集   與其值域   間的等距性質。

左平移和右平移

平方可和序列空間上的左平移和右平移算子

 
 

有下列關係

 

而左平移和右平移算子是部分等距映射,其始子空間由以下向量構成

 

其終子空間則是:

 

參考資料

外部連結