长度 (模论)

在数学中，设 $A$ 为环，一个 $A$-模 之长度是一个整数（包括无穷大），它推广了向量空间的维度。有限长度的模与有限维向量空间有许多共通性。

动机

单模是除了零和本身外没有子模的模，这种模有时也称为不可约模。例如不可约的向量空间（视为域或除环上的模）是一条直线。对于单模，我们只可能造出一种严格递增的子模链：

$\{0\}\subsetneq M$

单模是容易处理的对象。对于一个环 $A$ 上的 $A$-模 $M$，如果我们能找到一条严格递增的子模链：

$M_{0}=\{0\}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M$

使得每个子商 $M_{k}/M_{k-1}$ 都是单模，那么此链将是极大的——我们无法插入新的子模。根据以下将阐述的定义，这时 $M$ 将是有限长度的模，其长度 $\ell _{R}(M)$恰为 $n$。

因此单模正好是长度为一的模。另一个例子：设 $E$ 是域 $k$ 上的有限维向量空间，那么一个极大的子模链是一族子空间 $(E_{k})_{0\leq k}$，使得维度在每一步都加一：

$E_{0}=\{0\}\subsetneq E_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq E_{n-1}\subsetneq E_{n}=E$

而此时 $\dim _{k}E=\ell _{k}(E)$，这种资料称作旗。

定义

设 $A$ 为一个环（可能非交换）， 一个 $A$-模 $M$ 的长度定义为严格递增的子模链长度的上确界：此即最大可能的整数 $n$（可能是无穷大），使得 $M$ 中存在严格递增的子模链 $M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}$。模 $M$ 的长度记为 $\ell _{A}(M)$，不致混淆时也迳写作 $\ell (M)$。

例子

• 模 $M$ 是单模的充要条件是长度为一。
• 对于向量空间，长度等于维度。
• 整数环 $\mathbb {Z}$ 视为 $\mathbb {Z}$-模，则其长度为无穷大，因为存在任意长的子模链 $2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z}$。
• 设正整数 $n$ 的素因数分解为 $n=\prod _{p}p^{n_{p}}$，则有

$\ell _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )=\sum _{p}n_{p}$

性质

有限长的模具有许多类似有限维向量空间的性质。例如：若 $M$ 为有限长模，则其子模皆有限长，设 $N,P$ 为两个子模，$\ell (N)=\ell (P)$ 且 $N\subseteq P$，则 $N=P$。

我们有 Grassman 公式：

$\ell (N+P)+\ell (N\cap P)=\ell (N)+\ell (P)$

对于有限长模 $M$，一个极大的子模链 $\{0\}=M_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}=M$ 称为一个合成列，其长度 $n$ 是固定的，且合成因子 $M_{i}/M_{i+1}$ 在至多差一个置换与同构的意义下唯一。

此外，一个模是有限长模若且唯若它同时是阿廷模与诺特模。

文献

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X