长度 (模论)

数学中,设 ,一个 -长度是一个整数(包括无穷大),它推广了向量空间维度。有限长度的模与有限维向量空间有许多共通性。

动机

单模是除了零和本身外没有子模的,这种模有时也称为不可约模。例如不可约的向量空间(视为除环上的模)是一条直线。对于单模,我们只可能造出一种严格递增的子模链:

 

单模是容易处理的对象。对于一个   上的  -模  ,如果我们能找到一条严格递增的子模链:

 

使得每个子商   都是单模,那么此链将是极大的——我们无法插入新的子模。根据以下将阐述的定义,这时   将是有限长度的模,其长度  恰为  

因此单模正好是长度为一的模。另一个例子:设   是域   上的有限维向量空间,那么一个极大的子模链是一族子空间  ,使得维度在每一步都加一:

 

而此时  ,这种资料称作

定义

  为一个(可能非交换), 一个  -模  长度定义为严格递增的子模链长度的上确界:此即最大可能的整数  (可能是无穷大),使得   中存在严格递增的子模链  。模   的长度记为  ,不致混淆时也迳写作  

例子

  •  单模的充要条件是长度为一。
  • 对于向量空间,长度等于维度。
  • 整数环   视为  -模,则其长度为无穷大,因为存在任意长的子模链  
  • 设正整数   的素因数分解为  ,则有
 

性质

有限长的模具有许多类似有限维向量空间的性质。例如:若   为有限长模,则其子模皆有限长,设   为两个子模,  ,则  

我们有 Grassman 公式:

 

对于有限长模  ,一个极大的子模链   称为一个合成列,其长度   是固定的,且合成因子   在至多差一个置换与同构的意义下唯一。

此外,一个模是有限长模当且仅当它同时是阿廷模诺特模

文献

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X