模组:Complex Number/Functions/doc

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本模组定义了一些可供Module:Complex_Number系列模组使用的扩充函数。

使用条件

要能使用此函数，必须先输入一个数字类别资料结构以及其专用的math程式库

数字类别资料结构必须包含下列成员函数：
- clean() : 削去过小的小数，如5.0000000000000015会被削成5。
- metatable必须实作下列函数
  加法、减法、乘法、除法、取馀数、相等判断、转字串、相反数（加法反元素）
专用的math程式库必须包含下列成员：
- 基本函数：
  abs（绝对值）、 sgn（符号函数）、 arg（辐角）、 conjugate（共轭）、 sqrt（平方根）、 dot（内积）
- 高斯符号：
  floor（无条件舍去）、 ceil（无条件进位）、 round（四舍五入）
- 除法相关：
  mod、 div（除法）、 inverse（乘法反元素）
- 指对数相关：
  exp（自然指数）、 log（自然对数）、 pow（幂）
- 特殊成员
  re（返回实部）、nonRealPart（返回不含实部的复数）、 tovector（返回复数的数组形式）
- 三角函数
  sin、 cos、 tan、 cot、 cis、 asin、 acos、 atan、 acot
- 双曲函数
  sinh、 cosh、 tanh、 coth、 asinh、 acosh、 atanh、 acoth
- 常数
  e、 pi（圆周率）、 nan（不是数字）

使用方法

初始化任何符合此扩充函数库使用条件的数学库
- local 自订函数库名称 = require("Module:Complex Number").函数库名称.init()
  以Module:Complex Number的cmath为例：
  local cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init()
初始化本扩充函数库
- 自订函数库名称 = require("Module:Complex Number/Functions")._init(自订函数库名称, 函数库对应的数字建构函式)
  以上述之Module:Complex Number的cmath为例：
  cmath = require("Module:Complex Number/Functions")._init(cmath, cmath.constructor)
使用扩充函数库中的函数
例如：
print(cmath.factorial(5), cmath.sec(cmath.pi/4))

输出：120 　　1.4142135623731

模组中的函数

三角函数扩充

扩充了原本未定义的三角函数

如sec（正割）、 csc（馀割）、 sech（双曲正割）、 csch（双曲馀割）、 asec（反正割）、 acsc（反馀割）、asech（反双曲正割）、 acsch（反双曲馀割）、 gd（古德曼函数）、 cogd（馀古德曼函数）、 arcgd（反古德曼函数）

功能: 输入一个复数x，回传其指定三角函数的值

range(x,min,max)

功能: 只取函数的某一段; 若x位于min,max区间内，则回传x，否则回传NaN

统计函数

定义了一些统计函数

如minimum（最小值）、 maximum（最大值）、 average（平均值）、 geoaverage（几何平均值）、 var（变异数）、 σ（标准差）

功能: 输入一系列数字，回传其指定的统计值

diff(function, x₀)

功能: 输入一个函数，计算该函数在x=x₀的导数
实作方式: 数值微分#高阶方法

integral(a, b, function, step)

功能: 输入一个函数，计算从a到b的定积分，并以step为求黎曼和的间距
实作方式: en:Boole's_rule

limit(x₀, way, function)

功能: 输入一个函数，计算从way方向向x₀逼近的极限。; 其中，way=1为右极限、way=-1为左极限、way=0为不分方向的极限，若左极不等于右极回传NaN

条件式

常数条件输入

if(条件, 为真时, 为假时)、ifelse(条件1, 条件1为真, 条件2, 条件2为真, ... ,皆为假)

代表条件在传入函数时已经完成计算

函数条件输入

iff(条件函数, 为真时, 为假时)、ifelsef(条件函数1, 条件1为真, 条件函数2, 条件2为真, ... ,皆为假)

代表条件在传入函数时尚未计算，判断的当下才计算。所传入的函数需要是无参数函数，若有参数也只会被忽略。用于定义递回下的条件

factorial(x)

功能: 输入一个复数x，回传其阶乘值; 即factorial(x) $=n!$
实作方式: 参考#gamma(x)

binomial(n,k)

功能: 计算二项式系数; 也可以理解为从n个元素中取出k个元素的方法数

gcd(a,b,c,...)

功能: 计算a,b,c,....等数字的最大公因数，支援复数。
实作方式: 辗转相除法

lcm(a,b,c,...)

功能: 计算a,b,c,....等数字的最小公倍数，支援复数。
实作方式: 最小公倍数#计算方法

gamma(x)

功能: 输入一个复数x，回传其Γ函数值

伽玛函数的实作方式

精确度: 有效数字14位
运算效率: 平均一次运算耗时约0.3582毫秒（3.6×10⁻⁴ s、一秒可计算2,700+次），测试于2018年11月19日 (一) 06:39 (UTC)、2022年4月12日 (二) 17:54 (UTC)。
实作方式

共分成4个部分
- 中间蓝色部分是利用从零展开倒数伽玛函数的泰勒级数定义
  展开至前30项
  
  ${\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots$
  
  $a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}$ ^[1]
- 两侧橘红色部分是利用中间蓝色代Γ函数的递回关系式定义，并用For回圈实作
  $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$
  
  $\Gamma (x-1)={\frac {\Gamma (x)}{x-1}}$
- 上下的绿色部分则是使用Robert H. Windschitl (2002) 所提出的公式近似
  $\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}$ ^[2]
- 最后黄色部分则是使用带有斯特灵级数的斯特灵公式近似
  $n!={\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).$ ^[3]
  
  展开至前16项（来源：（OEIS数列A001163）、（OEIS数列A001164））
- 而背景透明标记（灰白相间）部分则为超出浮点数可储存范围，会溢位或出现inf或nan
- 最左边土黄色则是可能出现低于设计的精确度小数12位而回传0

参考文献

^ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
^ Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006. （原始内容存档于2007-02-23）.
^ F. W. J. Olver, A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

[1] Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.

[2] Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006. （原始内容存档于2007-02-23）.

[3] F. W. J. Olver, A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

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