p-群

在数学中的群论中，给定一质数 $p$ ，$p$-群（英语：p-group）是每个元素的阶都是 $p$ 的次方的一个群 $G$ ；换言之，对每个 $G$ 中的 $g$ ，存在一个正整数 $n$ 使得 $g$ 的 $p^{n}$ 次方等于单位元素， $g^{(p^{n})}=e$ 而对小于 $p^{n}$ 的其他正整数 $m$ 则有 $g^{m}\neq e$。

若 $G$ 有限，则上述定义等价于 $G$ 的阶为 $p$ 的次方。有限 $p$-群的结构已被深入研究，其中一个使用类方程的标准结论为一个非平凡有限 $p$-群的中心不可能为一个平凡子群。一个 $p^{n}$ 阶的 $p$-群会包含著 $p^{i}$ 阶的子群，其中 $0\leq i\leq n$ 。更一般性地，每一个有限 $p$-群都会是幂零群，因而都是可解群。

有相同阶的p-群不一定会互相同构；例如，循环群C₄和克莱因四元群都是4阶的2-群，但两者并不同构。一个p-群不一定要是阿贝尔群；如8阶的二面体群即为一个非可换2-群。（但每个p²阶的群都会是可换的。）

以趋进的观点来看，几乎所有的有限群都会是p-群。实际上，几乎所有的有限群都是2-群：2-群的同构类与其阶至多为n之群的同构类的比例在当n趋进于无限大时会趋进于1。例如，其阶至多为2000的所有不同的群会有99%为1024阶的2-群。

每一个非当然有限群都会包括一个为非当然p-群之子群。详述请见西洛定理。

无限群的例子，见普吕弗群。

性质

$p$-群中，所有元素的阶都是有限的，因此$p$-群是周期群

另见

• 幂零群
• 西洛子群
• 普吕弗秩
• 超特别群