上同調運算

數學中，上同調運算自1950年代起稱為代數拓撲，特別是同倫論的核心，其簡單定義是：若F是定義上同調論的函子，則上同調運算應是F到自身的自然變換。自始至終有兩個基本點：

1. 運算可用組合方法研究；
2. 運算效果是產生有趣的雙交換子理論。

這些研究來自龐特里亞金、波斯尼科夫、諾曼·斯廷羅德等人的研究，他們首次定義了模2係數情形下奇異上同調的龐特里亞金平方、波斯尼科夫平方、斯廷羅德根運算。其中的組合方面是在上鏈層面上對自然對角映射失效的表述。運算的斯廷羅德代數的一般理論與對稱群的一般理論密切相關。 亞當斯譜序列中，雙交換子方面隱含在Ext函子、Hom函子的導出函子的使用中；若在斯廷羅德代數作用上存在雙交換子性，也只是在導出的層面上。其趨同於穩定同倫論中的群，而關於穩定同倫論的信息卻很難獲得。這種聯繫使同倫論對上同調運算產生了濃厚興趣，自此成為一個研究課題。非凡上同調論有自己的上同調運算，可能表現出更豐富的約束。

正式定義

$(n,q,\pi ,G)\,$

型上同調運算$\theta$是定義在CW復形上的函子

$\theta :H^{n}(-,\pi )\to H^{q}(-,G)\,$

的自然變換。

與艾倫伯格–麥克萊恩空間的關係

CW復形的上同調用艾倫伯格–麥克萊恩空間可表，因此由米田引理，$(n,q,\pi ,G)$型上同調運算由$K(\pi ,n)\to K(G,q)$的同倫類映射給出。再次利用可表性，上同調運算由$H^{q}(K(\pi ,n),G)$的一個元素給出。

令$[A,B]$表示A到B的映射的同倫類集，

${\begin{aligned}\displaystyle \mathrm {Nat} (H^{n}(-,\pi ),H^{q}(-,G))&=\mathrm {Nat} ([-,K(\pi ,n)],[-,K(G,q)])\\&=[K(\pi ,n),K(G,q)]\\&=H^{q}(K(\pi ,n);G).\end{aligned}}$

另見

• 二階上同調運算

參考文獻

• Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C., Cohomology operations and applications in homotopy theory, New York: Dover Publications, 2008 [1968], ISBN 978-0-486-46664-4, MR 0226634 
• Steenrod, N. E., Epstein, D. B. A. , 編, Cohomology operations, Annals of Mathematics Studies 50, Princeton University Press, 1962, ISBN 978-0-691-07924-0, MR 0145525