上同調運算

數學中,上同調運算自1950年代起稱為代數拓撲,特別是同倫論的核心,其簡單定義是:若F是定義上同調論函子,則上同調運算應是F到自身的自然變換。自始至終有兩個基本點:

  1. 運算可用組合方法研究;
  2. 運算效果是產生有趣的雙交換子理論。

這些研究來自龐特里亞金、波斯尼科夫、諾曼·斯廷羅德等人的研究,他們首次定義了模2係數情形下奇異上同調龐特里亞金平方波斯尼科夫平方斯廷羅德根運算。其中的組合方面是在上鏈層面上對自然對角映射失效的表述。運算的斯廷羅德代數的一般理論與對稱群的一般理論密切相關。 亞當斯譜序列中,雙交換子方面隱含在Ext函子、Hom函子的導出函子的使用中;若在斯廷羅德代數作用上存在雙交換子性,也只是在導出的層面上。其趨同於穩定同倫論中的群,而關於穩定同倫論的信息卻很難獲得。這種聯繫使同倫論對上同調運算產生了濃厚興趣,自此成為一個研究課題。非凡上同調論有自己的上同調運算,可能表現出更豐富的約束。

正式定義

 

上同調運算 是定義在CW復形上的函子

 

自然變換

與艾倫伯格–麥克萊恩空間的關係

CW復形的上同調用艾倫伯格–麥克萊恩空間可表,因此由米田引理 型上同調運算由 同倫類映射給出。再次利用可表性,上同調運算由 的一個元素給出。

 表示AB的映射的同倫類集,

 

另見

參考文獻