十面體

10個面的多面體

幾何學中,十面體是指由10個組成的多面體。在拓樸學中,有32300種不同的十面體[1],許多對稱性高的十面體通常會有五個對稱軸[2]。在幾何學上,沒有任何十面體是正十面體,也就是說找不到面由正多邊形組成且每個面全等、每個角相等的正十面體,但在抽象理論中,存在一種正十面體,半二十面體[3][4],其由十個全等的正三角形組成,但其屬於抽象多面體[5]。雖然幾何學上沒有正十面體,但仍有半正多面體,即雖面未必全部全等,但其面全部都是正多邊形且每個角等角的多面體例如正四角反稜柱八角柱等。

十面體
部分的十面體
正四角帳塔
正四角帳塔
五方偏方面體
五方偏方面體
八角柱
八角柱
雙五角錐
雙五角錐

常見的十面體

所有面都由正多邊形組成且每個角都相等的十面體是半正多面體,所有十面體中僅有八角柱正四角反稜柱符合,其中八角柱由正方形和正八邊形組成、正四角反稜柱由正方形和正三角形組成,但一般不會稱正八角柱為半正十面體。

面為正多邊形的十面體有:正八角柱正四角帳塔雙五角錐側錐五角柱側錐正二十面體欠三側錐英語Augmented tridiminished icosahedron正四角反稜柱[6],其中雙五角錐三角面多面體,另外,不規則的十面體有無限多個,其中,樸拓結構有明顯差異的十面體共有32300種[1][7],其中,拓樸結構有明顯差異代表著兩種不同的多面體不能透過扭曲面或邊來改變成的多面體,例如八角柱和九角錐,但八角柱和八角錐台則沒有明顯不同的拓樸結構。

詹森多面體

有部分的詹森多面體具有10個面[8]

名稱 種類 圖像 編號 頂點 面的種類 對稱性 展開圖
正四角帳塔 帳塔   J4 12 20 10 4個正三角形 
5個正方形 
1個正八邊形 
C4v, [4], (*44)  
雙正五角錐 雙錐體   J13 7 15 10 10個正三角形  D5h, [5,2], (*225), order 20  
側錐五角柱 錐體與柱體組合   J52 11 19 10 4個正三角形 
4個正方形 
2個正五邊形 
C2v  
側錐正二十面體欠三側錐 切割的正二十面體
與錐體的組合
  J64 10 18 10 7個正三角形 
3個正五邊形 
C3v  

八角柱

 
正八角柱

八角柱是一種底面為八邊形的柱體,是十面體的一種,由10個面24條邊和16個頂點組成[9],對偶多面體為雙八角錐[10]。正八角柱代表每個面都是正多邊形的八角柱,其每個頂點都是2個正方形和1個八邊形的公共頂點,因此具有每個角等角的性質,可以歸類為半正十面體。而頂點都是2個正方形和1個八邊形的公共頂點的這種頂角,在頂點圖中以 表示。正八角柱在施萊夫利符號中可以利用{8}×{} 或 t{2, 8}來表示;在考克斯特—迪肯符號英語Coxeter-Dynkin diagram中可以利用     來表示;在威佐夫符號英語Wythoff symbol中可以利用2 8 | 2來表示;在康威多面體表示法中可以利用P8來表示。若一個正八角柱底邊的邊長為 、高為 ,則其體積 和表面積 [11]

 
 

九角錐

 
九角錐

九角錐是一種底面為九邊形的錐體,是十面體的一種,其由10個面、18條邊和10個頂點組成[12],對偶多面體是自己本身[13]。正九角錐是一種底面為正九邊形的九角錐。若一個正九角錐底邊的邊長為 、高為 ,則其體積 和表面積 [13]

 
 

十面體列表

名稱 種類 圖像 符號 頂點 χ 面的種類 對稱性 展開圖
八角柱 稜柱體   t{2,8}
{8}x{}
     
16 24 10 2 2個八邊形 
8個矩形 
D8h, [8,2], (*822), order 32  
九角錐 稜錐體   ( )∨{9} 10 18 10 2 1個九邊形 
9個三角形 
C9v, [9], (*99)
雙五角錐 雙錐體   { }+{5}
     
7 15 10 2 10個三角形  D5h, [5,2], (*225), order 20  
四角反柱 反稜柱   s{2,4}
     
     
8 16 10 2 2個四邊形 
8個三角形 
D4d, [2+,8], (2*4), order 16  

參見

  • 十胞體:在四維或更高維度的空間中具有十個維面的圖形
  • 十邊形:在二維空間中具有十個維面的圖形

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Steven Dutch: How Many Polyhedra are There?頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  2. ^ J Phys Chem C Nanomater Interfaces. A New Mechanism of Stabilization of Large Decahedral Nanoparticles. 2012-05-31 [2016-08-21]. doi:10.1021/jp3011475. (原始內容存檔於2021-12-21). 
  3. ^ The hemi-icosahedron. [2016-08-21]. (原始內容存檔於2016-08-29). 
  4. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  5. ^ N. Wedd. The hemi-icosahedron. Regular Map database. weddslist.com. 2010 [2016-08-14]. (原始內容存檔於2016-08-29). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (編). Decahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  7. ^ Counting polyhedra頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) numericana.com [2016-1-10]
  8. ^ Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.
  9. ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D8h Symmetry: Octagonal Prism. [2022-09-14]. (原始內容存檔於2022-09-14). 
  10. ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D8h Symmetry: Octagonal Dipyramid. [2022-09-14]. (原始內容存檔於2022-09-14). 
  11. ^ Wolfram, Stephen. "octagon prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英語). 
  12. ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with C9v Symmetry: Enneagonal Pyramid. [2022-09-14]. (原始內容存檔於2022-09-14). 
  13. ^ 13.0 13.1 Wolfram, Stephen. "Enneagonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英語).