反函數
对一个定函数做逆运算的函数
此條目需要補充更多來源。 (2023年12月29日) |
定義與存在性
設 為一函數,其定義域為 ,陪域為 。如果存在一函數 ,其定義域和陪域分別為 ,並對任意 有 、對任意 有 ,則稱 為 的反函數,記之為 。[註 1]
與限制的關係
一部分函數儘管本身不可逆,但它到其定義域的某個子集上的限制是可逆的。[2]例如
並不是單射,因 和 均為 。但若取其到 上的限制,則這一限制為雙射,並擁有反函數
反三角函數是限制定義域的另一個例子。正弦、餘弦等三角函數具有周期性,如
這意味着其並非單射。若要定義三角函數的反函數,則需要限定其定義域,如反正弦函數通常定義為正弦函數到 上的限制的反函數。這一經過限制的定義域亦是反正弦函數的值域,稱作其主值。
性質
- 原函數的定義域、值域分別是反函數的值域、定義域。
- 原函數與其反函數的函數圖像關於函數 的圖像對稱。
- 嚴格單調函數一定存在反函數,且反函數與原函數的單調性一致。
- 擁有反函數的函數不一定是嚴格單調函數,例如
注釋
參考資料
- ^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. (原始內容存檔於2023-12-29).
- ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.