安培力定律

此條目頁的主題是兩條載流導線相互作用的力的定律。關於描述載流導線與其產生的磁場之間的關係，請見「安培定律」。

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在靜磁學裏，安培力定律專門描述兩條載流導線相互作用的吸引力或排斥力，又稱為安培力，是由載流導線的電流所產生的磁場（根據必歐-沙伐定律），與對方的移動電荷的速度耦合而形成的勞侖茲力。安培力定律是因安德烈-馬里·安培而命名。

安德烈-馬里·安培。

兩條載流導線以磁場力相互吸引對方。下方導線載有電流 $I_{1}\,\!$ 。這會產生磁場 $B_{1}\,\!$ 。上方導線載有電流 $I_{2}\,\!$ ，因為處於這磁場 $B_{1}\,\!$ ，會感受到勞侖茲力 $F_{12}\,\!$ 。（沒有展示出的是同步的程序：上方導線產生的磁場，會使得下方導線感受到大小相等、方向相反的磁場力。）

另外一副關於勞侖茲力定律的繪圖，顯示出電路 1 的電流 $I_{1}\,\!$ ，通過磁場 $B_{1}\,\!$ ，施加作用力 $F_{12}\,\!$ 於電路 2 , 反之亦然。

公式

設定兩條細直、無限長、固定的、相互平行的載流導線，則在自由空間內，任意一條導線施加於對方的每單位長度作用力 $f_{m}\,\!$ 是

$f_{m}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi r}}\,\!$；

其中，$\mu _{0}\,\!$ 是真空磁導率，$I_{1}\,\!$ 、$I_{2}\,\!$ 分別是流動於兩條導線的電流，$r\,\!$ 是兩條導線之間的垂直距離。

採用國際單位制，$\mu _{0}\,\!$ 值定義為

$\mu _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 4\pi \times 10^{-7}\ \,\!$ 牛頓 / (安培)²。

假設每一條導線都載有 $1\,\!$ 安培，兩條導線相隔 $1\,\!$ 公尺，則作用於每一條導線的每單位長度的磁力為 2 × 10⁻⁷ 牛頓／公尺。

更一般性的，能夠適用於更多案例的方程式，可以用二重線積分來表達 ：

$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!$；

其中，$\mathbf {F} _{12}\,\!$ 是導線 1 施加於導線 2 的作用力，$I_{1}\,\!$ 和 $I_{2}\,\!$ 分別是流動於導線 1 和導線 2 的電流，${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 和 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 分別是導線 1 和導線 2 的線積分路徑，$d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!$ 和 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 分別是 ${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 和 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 的微小線元素，$\mathbf {r} _{12}\,\!$ 是從 ${\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!$ 指向 ${\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 的向量，$r_{12}\,\!$ 是其大小，${\hat {\mathbf {r} }}_{12}\,\!$ 是其單位向量。

從必歐-沙伐定律和勞侖茲力定律推導出安培力定律

根據必歐-沙伐定律，導線 1 的磁場在微小線元素 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 位置是

$\mathbf {B} _{1}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\ {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}{r_{12}^{2}}}\,\!$ 。

根據勞侖茲力定律，作用於微小線元素位置 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 的勞侖茲力遵守以下方程式

$d\mathbf {F} =dq(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\,\!$ ;

其中，$dq\,\!$ 是微小電荷，$\mathbf {E} \,\!$ 是電場。

在這裡，電場等於零。所以，

$d\mathbf {F} _{12}=I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!$ 。

表達為積分形式：

$\mathbf {F} _{12}=I_{2}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}\ d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!$ 。

將磁場的公式帶入，可以得到

$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!$ 。

外部連結

• 薩里大學電機系網頁：安培力定律 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。網頁內有展示安培力動畫圖形