安培力定律

此条目页的主题是两条载流导线相互作用的力的定律。关于描述载流导线与其产生的磁场之间的关系，请见“安培定律”。

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在静磁学里，安培力定律专门描述两条载流导线相互作用的吸引力或排斥力，又称为安培力，是由载流导线的电流所产生的磁场（根据毕奥-萨伐尔定律），与对方的移动电荷的速度耦合而形成的洛伦兹力。安培力定律是因安德烈-马里·安培而命名。

安德烈-马里·安培。

两条载流导线以磁场力相互吸引对方。下方导线载有电流 $I_{1}\,\!$ 。这会产生磁场 $B_{1}\,\!$ 。上方导线载有电流 $I_{2}\,\!$ ，因为处于这磁场 $B_{1}\,\!$ ，会感受到洛伦兹力 $F_{12}\,\!$ 。（没有展示出的是同步的程序：上方导线产生的磁场，会使得下方导线感受到大小相等、方向相反的磁场力。）

另外一副关于洛伦兹力定律的绘图，显示出电路 1 的电流 $I_{1}\,\!$ ，通过磁场 $B_{1}\,\!$ ，施加作用力 $F_{12}\,\!$ 于电路 2 , 反之亦然。

公式

设定两条细直、无限长、固定的、相互平行的载流导线，则在自由空间内，任意一条导线施加于对方的每单位长度作用力 $f_{m}\,\!$ 是

$f_{m}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi r}}\,\!$；

其中，$\mu _{0}\,\!$ 是真空磁导率，$I_{1}\,\!$ 、$I_{2}\,\!$ 分别是流动于两条导线的电流，$r\,\!$ 是两条导线之间的垂直距离。

采用国际单位制，$\mu _{0}\,\!$ 值定义为

$\mu _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 4\pi \times 10^{-7}\ \,\!$ 牛顿 / (安培)²。

假设每一条导线都载有 $1\,\!$ 安培，两条导线相隔 $1\,\!$ 米，则作用于每一条导线的每单位长度的磁力为 2 × 10⁻⁷ 牛顿／米。

更一般性的，能够适用于更多案例的方程，可以用二重线积分来表达 ：

$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!$；

其中，$\mathbf {F} _{12}\,\!$ 是导线 1 施加于导线 2 的作用力，$I_{1}\,\!$ 和 $I_{2}\,\!$ 分别是流动于导线 1 和导线 2 的电流，${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 和 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 分别是导线 1 和导线 2 的线积分路径，$d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!$ 和 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 分别是 ${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 和 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 的微小线元素，$\mathbf {r} _{12}\,\!$ 是从 ${\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!$ 指向 ${\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 的矢量，$r_{12}\,\!$ 是其大小，${\hat {\mathbf {r} }}_{12}\,\!$ 是其单位矢量。

从毕奥-萨伐尔定律和洛伦兹力定律推导出安培力定律

根据毕奥-萨伐尔定律，导线 1 的磁场在微小线元素 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 位置是

$\mathbf {B} _{1}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\ {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}{r_{12}^{2}}}\,\!$ 。

根据洛伦兹力定律，作用于微小线元素位置 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 的洛伦兹力遵守以下方程

$d\mathbf {F} =dq(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\,\!$ ;

其中，$dq\,\!$ 是微小电荷，$\mathbf {E} \,\!$ 是电场。

在这里，电场等于零。所以，

$d\mathbf {F} _{12}=I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!$ 。

表达为积分形式：

$\mathbf {F} _{12}=I_{2}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}\ d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!$ 。

将磁场的公式带入，可以得到

$\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!$ 。

外部链接

• 萨里大学电机系网页：安培力定律 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。网页内有展示安培力动画图形