對偶系統

數學中,上的對偶系統對偶對是指三元組,包含上的2個向量空間XY,以及非退化雙線性映射

對偶理論是對對偶系統的研究,在泛函分析中占有重要地位,並通過希爾伯特空間廣泛應用於量子力學中。

定義、記號與慣例

配對

 上的配對(pairing或pair)是一個三元組 ,也可以用 表示, 包含 上的兩個向量空間XY雙線性映射 ,稱作與配對關聯的雙線性映射[1],或配對的映射,或其雙線性形式。簡單起見,本文只涉及 實數 複數 的例子。

 ,定義    ,定義    Y上的線性泛函 X上的線性泛函。令   其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。

通常記 而非 ,這樣配對不必寫成 ,而可以寫成 。不過,本文將用 表示求值映射(定義見下),以避免混淆。

對偶對

雙線性形式b是非退化的,則稱配對  上的對偶系統對偶對[2] ,滿足下面兩條分離公理:

  1. Y分離(區分)X的點:若 使得 ,則 ;等價地,對所有非零的 ,映射 不等同於 (即 使得 );
  2. X分離(區分)Y的點:若 使得 ,則 ;等價地,對所有非零的 ,映射 不等同於 (即 使得 )。

這樣b是非退化的,可以說bXY置於(分離)對偶中(places in (separated) duality),b是三元組 的對偶配對(duality pairing)。[1][2]

全子集

 ,  能推出 ,則稱 為全集。 X的全子集定義相似(見腳註)。[note 1]因此,當且僅當XX的全子集,X分離Y中所有點,對Y亦然。

正交性

 ,稱向量xy正交,記作 。若 ,稱兩子集  正交,記作 ;即   。子集正交於向量的定義與之類似。

子集 正交補零化子 . 於是,當且僅當 RX的全子集。

極集

給定在 上定義了對偶對的三元組 ,子集 絕對極集極集是集合 對稱地,子集 的絕對極集或極集記作 ,定義為  


為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記,子集 的絕對極也可以稱為B絕對預極(absolute prepolar)或預極(prepolar),可表為 [3]

 必然是凸集,包含 ,若B平衡,則 也平衡;若BX的向量子空間,則 Y的向量子空間。[4]

AX的向量子空間,則 ,還等於A的實極。若 ,則A雙極(bipolar,記作 )是A正交補的極,即集 。相似地,若 ,則B的雙極是 

對偶的定義與結果

給定對 ,定義新對 ,其中 [1] 對偶理論有個一貫的主題:任何對 都有相應的對偶對 

約定與定義:給定配對 的任何定義,將其應用於配對 ,就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。

例如,若X分離Y的點(或者說SY的全子集)定義如上,則此約定立即產生了對偶定義:Y分離X的點(或者說SX的全子集)。 下面的寫法幾乎無處不在,可讓我們不用為d指定符號。

約定與記號:若配對 的定義及其記號取決於XY的順序(例如,X上的麥奇拓撲 ),那麼交換XY順序就意味着定義適用於 (接上例,拓撲 實際上是拓撲 )。

再比如,一旦定義了X上的弱拓撲 ,則此對偶定義就會自動應用到配對 ,從而得到Y上弱拓撲的定義—— 而非 

  的識別

雖然從技術上將這是不正確的,也是對符號的濫用,但本文將遵守幾乎普遍的管理,及將配對  互換處理,並用 表示 

例子

配對的限制

 是配對,MX的向量子空間,NY的向量子空間。則,  的限制就是配對 。若 是對偶,則限制就有可能不對偶(如,若  )。

本文將使用通常做法,用 表示限制 

向量空間上的規範對偶

X是向量空間,令 表示X代數對偶空間(即,X上所有線性泛函的空間)。則有規範對偶 ,其中 ,稱之為 上的求值映射自然/規範雙線性泛函。

注意  只是表示 的另一種方式,即 

N 的一個向量子空間,則  的限制稱作規範配對。若此配對是對偶,則稱為規範對偶。顯然X總是分離N的點,因此當且僅當N分離X中的點,規範配對是對偶系統。 下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。

求值映射記作 (而非c),將 改為 

假設:按慣例,若X是向量空間,NX上線性泛函的向量空間,則除非另有說明,否則將假定它們同規範配對 相關聯。

N 的向量子空間,則當且僅當N分離X的點(或等價地,N是全的, 能推出 ),X分離N的點(或等價地, 是對偶),[1]

拓撲向量空間上的規範對偶

X拓撲向量空間,有連續對偶空間 。 則,規範對偶  的限制確定了配對 ,其中X分離 的點。 若 分離X的點(例如,若X是豪斯多夫局部凸空間,則恆為真),則此配對形成了對偶。[2]

假設:正如通常所作,只要X是拓撲向量空間,則除非另有說明,否則將假定其與規範配對 相關聯,無需注釋。

拓撲向量空間的極與對偶

下列結果表明,拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。

定理[1] — X是拓撲向量空間,有代數對偶  ,並令 X在原點鄰域的基。 在規範對偶 下,X是連續對偶空間是所有 的並,因為N的範圍是 (其中極位於 )。

內積空間與復共軛空間

預希爾伯特空間 ,當且僅當H 上的向量空間,或H是0維, 是對偶對。這裡假定半雙線性形式 在第二坐標上是共軛齊次的,在第一坐標上是齊次的。

  1.  是實希爾伯特空間,則 形成對偶系統。
  2.  是復希爾伯特空間,則當且僅當  形成對偶系統。若H非平凡,則 甚至不是配對,因為內積是半雙線性的,而非雙線性的。[1]

 是復預希爾伯特空間,標量乘法用並列或 表示。 定義映射   其中右式使用了H的標量乘法。令 表示H復共軛向量空間,其中 表示加群 (所以 中的向量加法與H中的相同),但 中的標量乘法是映射 (而非H被賦予的標量乘法)。

映射 定義為 ,在兩個坐標中都是線性的[note 2],因此 形成對偶對。

其他例子

  1.    是配對,使X區分Y的點,但Y不區分X的點。此外, 
  2.  (其中q滿足 ),  是對偶系統。
  3. XY是同一域 上的向量空間,則雙線性形式 使  對偶。[2]
  4. 序列空間X及其Beta-對偶空間 ,雙線性映射定義為 形成對偶系統。

弱拓撲

  上一對向量空間。若 ,則X上由S(和b)誘導的弱拓撲X上最弱的拓撲向量空間拓撲,記作  ,使yS上取值時所有映射 連續。[1]S在語境中不明確,則應假定是Y的全部,這時稱之為X上(由Y誘導的)的弱拓撲。  或(若無混淆) 用於表示賦有弱拓撲 X。 重要的是,弱拓撲完全取決於函數b 上的通常拓撲與X上的向量空間結構,而與Y的代數結構無關。 同樣,若 ,則Y上由R(和b)誘導的弱拓撲的對偶定義記作  (細節見腳註)。[note 3]

定義與符號:若 附在一個拓撲定義上(如 -收斂、 -有界、 等等),則就意味着當定義的第一個空間(即X)攜帶 拓撲。若無混淆,可以不提及b甚至XY。例如,若Y中序列  -收斂」或「弱收斂」,這意味着它收斂於 ,而若它是X中的序列,則意味着它收斂於 )。

拓撲 局部凸的,因為它由 定義的半範數族 確定,其中yY上取值。[1] X中的,則若  中收斂到x  -收斂x[1] ,當且僅當 收斂到  -收斂到x

 是希爾伯特空間中的正交規範向量列,則 弱收斂到0,但不會規範收斂(norm-convergence)到0(或任意向量)。[1]

 是配對,NY的一個適當的向量子空間,使得 是對偶對,則  嚴格[1]

有界子集

子集 ,當且僅當 ,其中 ,稱S -有界。

豪斯多夫性

 是配對,則下列條件等價:

  1. X分離Y的點;
  2. 映射 定義了YX的代數對偶空間的單射[1]
  3.  豪斯多夫空間[1]

弱表示定理

下列定理對對偶理論至關重要,因為它完全表徵了 的連續對偶空間。

弱表示定理[1] —  是域 上的配對,則 連續對偶空間 另外,

  1. f 上的連續線性泛函,則 使 ;若這樣的y存在,則當且僅當X分離Y的點時,這樣的y是唯一的。
  • 注意,X是否分離Y中的點並不取決於y的特定選擇。
  1.  的連續對偶空間可以視作商空間 ,其中 
  • 無論X是否分離Y的點,或Y是否分離X中的點,這都是正確的。

因此, 的連續對偶空間是  

關於規範配對,若X是拓撲向量空間,其連續對偶空間 分離X的點(即使 豪斯多夫,這可推出X也必豪斯多夫),則 的連續對偶空間等於xX中取值時所有「點x處得值」的映射集合(即將 送到 的映射)。 通常寫成   這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果(如 上的強對偶拓撲 )能應用到原拓撲向量空間X的。例如,將X視作 意味着 上的拓撲 可被視作X上的拓撲。 此外,若 被賦予比 更細的拓撲,那麼 的連續對偶空間必然包含 (作為子集)。 例如, 被賦予強對偶拓撲(於是記作 ),則  

這允許X被賦予由強對偶拓撲 X上誘導的子空間拓撲(此拓撲也稱作強雙對偶拓撲,見於自反空間理論:豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X,若 則稱其是半自反空間,若在此之外,其在X上的強雙對偶拓撲 還等於X的原/初拓撲,則稱其是自反空間

正交、商與子空間

 是配對,則對X的任意子集S

  1.  ,且此集合是 -閉的;[1]
  2.  [1]
  • 因此,若SX -閉向量子空間,則 
  1.  X -閉向量子空間族,則

 [1]

  1.  X的子集族,則

 [1]

X是賦范空間,則根據規範對偶性,  中對范是封閉的, X中對范是封閉的。[1]

子空間

MX的向量子空間,並令 表示  的限制。 M上的弱拓撲 M 繼承的子空間拓撲相同。

另外, 是配對空間(paired space)(其中  ),其中 定義為  

拓撲 等於M繼承自 子空間拓撲[5] 此外,若 是對偶系統,則 也是。[5]

MX的向量子空間,則 是配對空間,其中 定義為  

拓撲 等同於  上誘導的一般的商拓撲[5]

極與弱拓撲

X是局部凸空間,且若H是連續對偶空間 的子集,則當且僅當對X中某B,有 時,H -有界的。[1]

下列結果對定義極拓撲非常重要。 若 是配對, [1]

  1. A的極  的閉子集。
  1. 下列集合的極相同:(a) A;(b) A的凸殼;(c) A平衡殼;(d) A -閉合;(e) A凸平衡殼 -閉合。
  1. 雙極定理A的雙極 等於A的凸平衡殼的 -閉合。
  1. 當且僅當 吸收Y時,A -有界的。
  2. Y還分離X的點,則當且僅當A -全有界時,A -有界的。

 是配對, X上與對偶一致的局部凸拓撲,則當且僅當BY的某 -有界子集的時,  中的[6]

轉置

線性映射關於配對的轉置

   上的配對,並令 是線性映射。

  是由 定義的映射。 若滿足以下條件,就可以說F的轉置或伴隨是良定的(well-defined):

  1. X分離Y中的點(或等價地,從Y抵達代數對偶 的映射 單射),且
  2.  其中 

這樣, 存在(由條件2)唯一的(由條件1) ,使 ,其中Y的這個元素將表為 。這定義了線性映射  

稱作F的轉置或關於  的伴隨(注意不要與厄米伴隨混淆)。不難看出,上述兩個條件(即「轉置良定義」)也是 良定的必要條件。   的定義條件是   即,  

根據本文開頭提到的約定,這也定義了形式為 [note 4]  [note 5]  [note 6]  [note 7]等的線性映射的轉置(見腳註)。

轉置的性質

   上的配對, 是線性映射,其轉置 是良定義的。

  • 當且僅當F的範圍在 中稠密時, 單射(即 )。[1]
  • 若除了 良定義外, 的轉置也良定義,則 
  •   上的配對, 是線性映射,其轉置 是良定義的,則 的轉置 也是良定義的,且 
  •  是向量空間同構,則 是雙射, 的轉置 是良定義的,且 [1]
  •   表示A絕對極,則[1]
    1.  
    2.  ,則 
    3.  使得 ,則 
    4.   是弱閉圓盤,則當且僅當 時, 
    5.  
將絕對極換成實極,這些結果不變。

XY是規範對偶下的賦范空間、 是連續線性映射,則 [1]

弱連續性

線性映射 ,若 連續,則稱其(關於  弱連續

下面的結果表明,轉置映射的存在與弱拓撲密切相關。

命題 — X分離Y的點, 是線性映射。 則下列條件等價:

  1. F是弱連續的(即 連續);
  2.  
  3. F的轉置是良定義的。

F是弱連續的,則

  •  是弱連續的,即 連續;
  • 當且僅當Z分離W的點,轉置 良定義,這時 

弱拓撲與規範對偶

X是向量空間, 是其代數對偶。則X的所有 -有界子集包含於有限維向量子空間,X的所有向量子空間是 -閉的。[1]

弱完備性

 完備拓撲向量空間,例如X -完備或(若無歧義)弱完備的情形。 存在不弱完備的巴拿赫空間(儘管在其范拓撲中是完備的)。[1]

X是向量空間,則在規範對偶下, 是完備的。[1] 相反,若Z是豪斯多夫局部凸拓撲向量空間,且有連續對偶空間 ,則當且僅當 時, 是完備的;即,當且僅當將 發送到z處求值映射(即 )的映射 是雙射。[1]

特別地,就規範對偶而言,若Y 的向量子空間,使Y分離X中的點,則當且僅當  是完備的。 換句話說, 不存在緊合向量子空間 使得 是豪斯多夫空間,且Y弱-*拓撲(即逐點收斂的拓撲)中完備。 因此,若豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X的連續對偶空間  被賦以弱*-拓撲,當且僅當 (即X上所有線性泛函都連續)時, 是完備的。

Y與代數對偶的子空間的等同

X分離Y的點、Z表示單射 的範圍,則ZX的代數對偶空間的向量子空間,且配對 與規範配對 (其中 是自然求值映射)是規範等同(canonically identify)的。 特別地,這時我們將不失一般性地假設YX代數對偶的向量子空間,而b是求值映射。

約定:通常,只要 是單射(尤其當 形成對偶對),通常不失一般性地假設YX的代數對偶空間的向量子空間,且b是自然求值映射,Y還可記作 

完全類似的是,若Y分離X中的點,則X就有可能等同於Y的代數對偶空間的向量子空間。[2]

代數伴隨

在對偶是規範對偶  的特例下,線性映射 的轉置總是良定義的。 此轉置稱作F代數伴隨,記作 ; 即  這樣, [1][7]其中 的定義條件是   或等價地 

若對整數n  X的基,其對偶基 是線性算子,F關於 的矩陣表示是 ,則M的轉置是 關於 的矩陣表示。

弱連續性與開性

  是對偶系統的規範配對(所以 ),並令 是線性映射。則當且僅當 滿足下列等價條件之一,F是弱連續的:[1]

  1.  連續;
  2.  
  3. F的轉置 相對於  是良定義的。

F是弱連續的,則 是連續的,於是 [7]

拓撲空間之間的映射 ,若 開映射 g的範圍),則稱之是相對開的。[1]

 是對偶系統, 是弱連續線性映射。則下列條件等價:[1]

  1.  是相對開的;
  2.  的範圍在Y -閉;
  3.  

此外

  • 當且僅當 是滿射(或雙射), 是單射(或雙射);
  • 當且僅當 是相對開單射, 是滿射。
拓撲向量空間之間映射的轉置

當且僅當F是弱連續的,兩拓撲向量空間之間映射的轉置才被定義。

 是兩豪斯多夫局部凸拓撲向量空間之間的線性映射,則[1]

  • F連續,則其是弱連續的,且 是麥基連續的,也是強連續的;
  • F是弱連續的,則其是麥基連續的,也是強連續的(定義見下)。
  • F是弱連續的,則當且僅當  等度連續子集映射到 的等度連續子集時,F才是連續的。
  • XY是賦范空間,則當且僅當F是弱連續的(這時 ),F連續。
  • F連續,則當且僅當 是弱相對開的(即 是相對開的)、且 的等度連續子集都是 的某等度連續子集的像時,F是相對開的。
  • F是連續單射,則當且僅當 的等度連續子集都是 的某等度連續子集的像, 是拓撲向量空間嵌入(或等價的拓撲嵌入)。

可度量化性與可分性

X局部凸空間,有連續對偶空間 ,並令 [1]

  1. K等度連續 -緊的,且 使得 X中稠密,則K 繼承的子空間拓撲等同於K 繼承的子空間拓撲。
  2. X可分的K是等度連續的,則K被賦予由 誘導的子空間拓撲後是可度量化的。
  3. X是可分、可度量化的,則 是可分的。
  4. X是賦范空間,則當且僅當給定由 誘導的子空間拓撲,X的連續對偶空間的封閉單元(X的連續對偶空間)可度量時,X是可分的。
  5. X是賦范空間,其連續對偶空間可分(給定通常的范拓撲)時,X可分。

極拓撲與同配對相容的拓撲

從弱拓撲開始,極基的使用會產生一系列局部凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲,弱拓撲是其中最弱的。

 將是 上的配對, 將是X -有界子集的非空集合。

極拓撲

給定X子集的集合 Y上由 (與b)定義的極拓撲(或Y上的 -拓撲)是Y上唯一的拓撲向量空間拓撲,其中   形成了原點鄰域的子基[1] Y被賦予這 -拓撲時,就表示為 。極拓撲都需要是局部凸的。[1]  是關於子集包含的有向集合時(即若  使得 ),則此0處的鄰域子基實際上形成了0處的鄰域基[1]

下面列出了一些較重要的極拓撲。

符號:若 表示Y上的極拓撲,則唄賦予此拓撲的Y將記作  (如對 我們有 ,這樣  都表示賦予了 Y)。
 
(「…上一致收斂的拓撲」)
記作 名稱(「…的拓撲」) 又稱
X的有限子集
(或X有限子集的 -閉圓盤化殼
 
 
逐點/簡單收斂 弱/弱-*拓撲
 -緊圓盤   麥基拓撲
 -緊凸子集   緊凸收斂
 -緊子集
(或平衡 -緊子集)
  緊收斂
 -有界子集  
 
有界收斂 強拓撲
最強的極拓撲

與極拓撲有關的定義

連續性 連續,則線性映射 是(關於  麥基連續的。[1]

 是連續的,則線性映射 是(關於  )強連續的。[1]

有界子集

X的子集,若在 (或  )中有界,則稱X弱有界(或麥基有界強有界)。

同配對相容的拓撲

  上的配對, X上的向量拓撲,則 是配對的拓撲,且若其局部凸、 的連續對偶空間 ,則稱之與配對 相容或一致。[note 8]X分離Y的點,則Y可視作X的代數對偶的向量子空間,定義條件變為 [1]有人(如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999])要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的,[2][8]Y分離X的點(這些學者假設),則必須是豪斯多夫的。

弱拓撲 同配對 相容(如弱表示定理所示),事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲,即麥基拓撲。 若N是非自反的賦范空間,則其連續對偶空間上通常的范拓撲同對偶 不相容。[1]

麥基–阿倫定理

下面是對偶理論中最重要的定理之一。

麥基–阿倫定理 I[1] —  是配對,使X分離Y的點,並令 X上的局部凸拓撲(不必豪斯多夫)。 則,當且僅當 是由某覆蓋了Y[note 9] -緊圓盤集合 確定的極拓撲時,稱 與配對 相容。

由此可見,麥基拓撲 是由Y中所有 -緊圓盤生成的極拓撲,是X上與配對  相容的最強局部凸拓撲。 給定拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間稱作麥基空間。 上述麥基-阿倫定理的一下結果也稱作麥基-阿倫定理。

麥基–阿倫定理 II[1] —  是配對,使得X分離Y的點,並且 X上的局部凸拓撲。則,當且僅當  與配對相容。

麥基定理、桶與閉凸集

X是(  上的)拓撲向量空間,則半空間(half-space)是形式為 的集合。(r是實數,fX上的連續實值線性泛函)

定理 — X是(  上的)局部凸空間、CX的非空閉凸子集,則 等於包含它的所有閉半空間的交。[9]

上述定理說明,局部凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是,在任何與配對相容的拓撲中,閉子集和凸子集都相同;即,若  X上的任意局部凸拓撲,且有同樣的連續對偶空間,則當且僅當X的凸子集在 拓撲中封閉,,此子集也在 拓撲中封閉。 這說明,X任意凸子集的 -閉等同於其 -閉,對X中任意 -閉圓盤A [1] 特別地,若BX的一個子集,則當且僅當B 中的桶時,B也是 中的[1]

下面的定理說明,(即閉吸收圓盤)恰是弱有界子集的極。

定理[1] —  是配對,使得X分離Y的點,並令 為配對的某拓撲。 則當且僅當X的子集等於Y的某 -有界子集的極時,此子集是X中的桶。

X是拓撲向量空間,則[1][10]

  1. X的閉吸收平衡子集B吸收X的所有凸緊子集(即存在正實數r使得 包含此集)。
  2. X是豪斯多夫局部凸的,則X中每個桶都吸收X的每個凸有界完備子集。

所有這些都引出了麥基定理,這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之,定理支出,對符合相同對偶性的兩豪斯多夫局部凸拓撲,有界子集是相同的。

麥基定理[10][1] —  是豪斯多夫局部凸空間,有連續對偶空間 ,並考慮規範對偶 。 若 X上任意與對偶 相容的拓撲,則 的有界子集與 的有界子集相同。

有限序列空間

X表示標量 的所有序列的空間,且對所有足夠大的i都有 。 令 ,定義雙線性映射   [1] 此外,當且僅當存在正實數序列 ,使得 、及所有指標i(或還有 )時,子集  -有界(或 -有界)的。[1]

由此可見,X的子集中有弱有界(即 -有界)的,但沒有強有界(即無 -有界)的。

另見

注釋

  1. ^ 子集 ,若  推出 ,則稱S為全子集。
  2. ^ b在第一坐標中線性顯然。設c是標量,則 ,說明b在第二坐標中也線性。
  3. ^ Y上的弱拓撲是Y上使所有映射 連續的最弱的拓撲向量空間拓撲(xR上取值)。  的對偶定義也可用來表示賦有弱拓撲 Y。若R在語境中不明確,則應假定是X的全部,這時稱之為Y上(由X誘導)的弱拓撲。
  4. ^  是線性映射,則當且僅當Z分離W的點、 時,G的轉置 是良定的。這時,  的定義條件是: 
  5. ^  是線性映射,則當且僅當X分離Y的點、 時,H的轉置 是良定的。這時,  的定義條件是: 
  6. ^  是線性映射,則當且僅當W分離Z的點、 時,H的轉置 是良定的。這時  的定義條件是: 
  7. ^  是線性映射,則當且僅當Y分離X的點、 時,H的轉置 是良定的。這時,  的定義條件是: 
  8. ^ 當然,Y上拓撲也有「與配對相容」的類似定義,但本文只討論X上的拓撲。
  9. ^ 集合S與其子集的集合 ,若S的點都包含於 中的某集合,稱 覆蓋S

參考文獻

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書目

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外部連結