形變收縮

在拓撲學中，收縮（retraction），顧名思義是將整個空間收縮到一個子空間；形變收縮（deformation retraction）是將空間「連續收縮」成一個子空間的映射。

定義

收縮

設 X 是一個拓撲空間，A 是 X 的一個子空間。那麼連續映射

r:X\to A

是一個收縮如果 r 在 A 上的限制是 A 上的恆等映射；這就是說，r(a) = a 對所有 a 屬於 A。等價地，記

\iota :A\hookrightarrow X

為包含，一個收縮是一個連續映射 r 使得

r\circ \iota =id_{A},

即 r 與包含的複合是 A 的恆等。注意，由定義，一個收縮映射 X 映滿 A。如果存在收縮映射，則子空間 A 稱為 X 的一個收縮核（retract）。例如，任何空間以顯然的方式收縮到一點（取常數映射為收縮）。

如果 X 嵌入任何正規空間 Y，作為 Y 的閉子集，X 是 Y 的收縮核，則空間 X 稱為絕對收縮核（或 AR）。

鄰域收縮

如果存在一個開集 U 使得

A\subset U\subset X

且 A 是 U 的一個收縮核，則 A 稱為 X 的一個鄰域收縮核。

如果空間 X 閉嵌入任何正規空間 Y中，X 是 Y 的一個鄰域收縮核，稱為 X 為一個絕對鄰域收縮核（或 ANR）。

形變收縮與強形變收縮

稱連續映射

d:X\times [0,1]\to X

是一個形變收縮，如果對任何x 屬於 X 及 a 屬於 A 有

d(x,0)=x,\;d(x,1)\in A

，以及

d(a,1)=a.

換句話說，形變收縮是收縮與 X 上恆等映射的同倫。子空間 A 稱為 X 的形變收縮核。形變收縮核是一類特殊的同倫等價。

收縮不一定是形變收縮。例如，以一個單點作為形變收縮核意味着是道路連通的（事實上這個空間是可縮的）。

注：形變收縮的另一個等價的定義如下。連續映射 r: X → A 是一個形變收縮如果它是一個收縮且它與包含映射的複合同倫於 X 上的恆等映射。在這種表述下，一個形變收縮得出它與 X 上的恆等映射之間的一個同倫。

如果在形變收縮的定義中，我們添加條件：

d(a,t)=a\,

對多有 t 屬於 [0, 1]，d 稱為一個強形變收縮（strong deformation retraction）。換句話說，強形變收縮在同倫中保持 A 中的點不動（也有一些作者將其作為形變收縮的定義）。

鄰域形變收縮

U 中的空間偶 $(X,A)$ 稱為 NDR-偶如果存在映射 $u:X\rightarrow I$ 使得 $A=u^{-1}(0)$ 與同倫 $h:I\times X\rightarrow X$ ，使得 $h(0,x)=x$ 對所有 $x\in X$ ， $h(t,a)=a$ 對所有 $(t,a)\in I\times A$ ，以及 $h(1,x)\in A$ 對所有 $x\in u^{-1}[0,1)$ 。二元組 $(h,u)$ 稱為 $(X,A)$ 作為 NDR-偶的一個表示。