形变收缩

拓扑学中,收缩retraction),顾名思义是将整个空间收缩到一个子空间形变收缩deformation retraction)是将空间“连续收缩”成一个子空间的映射

定义

收缩

X 是一个拓扑空间AX 的一个子空间。那么连续映射

 

是一个收缩如果 rA 上的限制[锚点失效]A 上的恒等映射;这就是说,r(a) = a 对所有 a 属于 A。等价地,记

 

为包含,一个收缩是一个连续映射 r 使得

 

r 与 包含的复合是 A 的恒等。注意,由定义,一个收缩映射 X 映满 A。如果存在收缩映射,则子空间 A 称为 X 的一个收缩核retract)。例如,任何空间以显然的方式收缩到一点(取常数映射为收缩)。

如果 X 嵌入任何正规空间 Y,作为 Y 的闭子集,XY 的收缩核,则空间 X 称为绝对收缩核(或 AR)。

邻域收缩

如果存在一个开集 U 使得

 

AU 的一个收缩核,则 A 称为 X 的一个邻域收缩核

如果空间 X 闭嵌入任何正规空间 Y中,XY 的一个邻域收缩核,称为 X 为一个绝对邻域收缩核(或 ANR)。

形变收缩与强形变收缩

称连续映射

 

是一个形变收缩,如果对任何x 属于 Xa 属于 A

 ,以及  

换句话说,形变收缩是收缩与 X 上恒等映射的同伦。子空间 A 称为 X形变收缩核。形变收缩核是一类特殊的同伦等价

收缩不一定是形变收缩。例如,以一个单点作为形变收缩核意味着是道路连通的(事实上这个空间是可缩的)。

:形变收缩的另一个等价的定义如下。连续映射 r: XA 是一个形变收缩如果它是一个收缩且它与包含映射的复合同伦于 X 上的恒等映射。在这种表述下,一个形变收缩得出它与 X 上的恒等映射之间的一个同伦。

如果在形变收缩的定义中,我们添加条件:

 

对多有 t 属于 [0, 1],d 称为一个强形变收缩strong deformation retraction)。换句话说,强形变收缩在同伦中保持 A 中的点不动(也有一些作者将其作为形变收缩的定义)。

邻域形变收缩

U 中的空间偶   称为 NDR-偶如果存在映射   使得   与同伦  ,使得   对所有    对所有  ,以及   对所有  。二元组   称为   作为 NDR-偶的一个表示。

性质

形变收缩是一种特殊的同伦等价。事实上,两个空间是同伦等价当且仅当他们都是另一个大空间的形变收缩核。

任何能形变收缩成一点的拓扑空间称为可缩的,反之亦然。但是存在可缩空间不能强形变收缩成一点。

引用