收斂半徑

收斂半徑數學分析中與冪級數有關的概念。一個冪級數收斂半徑是一個非負的擴展實數(包括無窮大)。收斂半徑表示冪級數收斂的範圍。在收斂半徑內的緊集上,冪級數對應的函數一致收斂,並且冪級數就是此函數展開得到的泰勒級數。但是,在收斂半徑上冪級數的斂散性是不確定的。

定義

定義冪級數f 為: 。其中常數a收斂圓盤的中心,cn為第n係數,z為變量。

收斂半徑r是一個非負的實數或無窮大( ),使得在 時冪級數收斂,在 時冪級數發散。

具體來說,當za足夠接近時,冪級數就會收斂,反之則可能發散。收斂半徑就是收斂區域和發散區域的分界線。在 |z - a| = r的收斂圓上,冪級數的斂散性是不確定的:對某些z可能收斂,對其它的則發散。如果冪級數對所有複數z都收斂,那麼說收斂半徑是無窮大。

收斂半徑的計算

根據達朗貝爾審斂法,收斂半徑 滿足:如果冪級數 滿足 ,則:

 時, 
 時, 
 時, 

根據根值審斂法,則有柯西-阿達馬公式

 
或者 

複分析中的收斂半徑

將一個收斂半徑是正數的冪級數的變量取為複數,就可以定義一個全純函數。收斂半徑可以被如下定理刻畫:

一個中心為a的冪級數f 的收斂半徑R 等於a與離a 最近的冪級數無定義點的距離。到a 的距離嚴格小於R 的所有點組成的集合稱為收斂圓盤

最近點的取法是在整個複平面中,而不僅僅是在實軸上,即使中心和係數都是實數時也是如此。例如:函數

 

沒有復根。它在零處的泰勒展開為:

 

運用達朗貝爾審斂法可以得到它的收斂半徑為1。與此相應的,函數 在±i存在奇點,其與原點0的距離是1。

簡單的例子

三角函數中的反正切函數可以被表達成冪級數:

 

運用審斂法可以知道收斂半徑為1。

一個更複雜的例子

考慮如下冪級數展開:

 

其中有理數Bn是所謂的伯努利數。對於上述冪級數,很難運用審斂法來計算收斂半徑,但運用上面提到的復域中的準則就可以很快得到結果:當z=0時,函數沒有奇性,因為是可去奇點。僅有的不可去奇點是其他使分母為零的取值,即使得

 

的複數z。設z = x + iy,那麼

 

要使之等於1,則虛部必須為零。於是有 ,其中 。同時得到 。回代後發現 只能為偶數,於是使得分母為零的z 的形式,其中 

離原點最近距離為 ,於是收斂半徑為 

收斂圓上的斂散性

如果冪級數在a附近可展,並且收斂半徑為r,那麼所有滿足 |za| = r的點的集合(收斂圓盤的邊界)是一個圓,稱為收斂圓。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使冪級數在收斂圓上收斂,也不一定絕對收斂


例1:函數ƒ(z) = (1 − z)−1z = 0處展開的冪級數收斂半徑為1,並在收斂圓上的所有點處發散。

例2:函數g(z) = ln(1 − z)在z = 0處展開的冪級數收斂半徑為1,在z = 1處發散但除此之外,在收斂圓上所有其它點上都收斂。例1中的函數ƒ(z)是 -g(z)的復導數

例3:冪級數

 

的收斂半徑是1並在整個收斂圓上收斂。設h(z)是這個級數對應的函數,那麼h(z)是例2中的g(z)除以z後的導數。h(z)是雙對數函數。

例4:冪級數

 

的收斂半徑是1並在整個收斂圓上一致收斂,但是並不在收斂圓上絕對收斂[1]

收斂速率

將下列函數在x = 0處展開:

 

可以看到收斂半徑為 ,也就是說冪級數對所有的複數變量值收斂。但是,在實際操作中,人們常常更關心函數值的精確度。展開的項數和展開點與變量的取值都會影響結果的準確度。例如,要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效數字,只需要計算級數的前兩項。然而,在x = 1時,要得到相同的精確度,就要計算前5項。對於ƒ(10),需要18項,對於ƒ(100)則需要141項。

 
文中提及的曲線的圖例:紅、藍線為逼近線,白圈為收斂圓。

可以看出,越靠近中心,收斂的速度就越快,反之則收斂速率降低。

圖例

考慮亞純函數 ,對應的模長二元函數圖像見右。函數在 處有極點

由於最近的奇點與原點距離為1,收斂半徑為1。函數在z = 0處的泰勒級數收斂當且僅當  

狄利克雷級數的收斂度規

與收斂半徑類似的一個概念是狄利克雷級數收斂度規,也就是使得級數 收斂的最小的s,其只依賴於數列an

參見

參考來源

  1. ^ Sierpiński, Wacław, O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka 29, 1918, 29: 263–266 

外部連結