時不變系統

非時變系統是輸出不會直接隨著時間變化的系統。

如果輸入信號$x(t)$產生輸出$y(t)$，那麼對於任意時間延遲的輸入$x(t+\delta )$將得到相同時間延遲的輸出$y(t+\delta )$。

如果系統的傳遞函數不是時間的函數，就可以滿足這個特性。這個特性也可以用示意圖的術語進行描述

如果一個系統是時不變的，那麼系統框圖與任意延時時刻的框圖都是可以互換的。

簡單例子

為了表明如何確定系統是時不變系統，以下來看兩個系統：

• 系統A：$y(t)=t\,x(t)$
• 系統B：$y(t)=10\cdot x(t)$

由於系統A除了$x(t)$與$y(t)$之外還顯式地依賴於t所以它是時變系統，而系統B沒有顯式地依賴於時間t所以它是時不變的。

正式例子

下面將給出系統A和B更加正式的證明。為了完成這個證明，我們需要使用第二個定義。

系統A：

使用延時的信號作為輸入$x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=t\,x_{d}(t)$

$y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )$

那麼輸出延時$\delta$

$y(t)=t\,x_{d}(t)$

$y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

很顯然$y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)$，所以系統是時變系統（time-varying）。

系統B:

以延時的信號作為輸入$x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=10\,x_{d}(t)$

$y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )$

現在輸出延時$\,\!\delta$

$y(t)=10\,x_{d}(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )$

顯然$y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)$，所以系統是非時變（time-invariant）的。儘管有其它方法可以證明這一點，但這是最容易的方法。

抽象例子

我們用$\mathbb {T} _{r}$表示移位算子，其中$r$是矢量變址組需要移位的數值，例如「前進1步」的系統

$x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)$

可以用這個抽象表示

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}$

其中${\tilde {x}}$是

${\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

以及產生系統移位輸出

${\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

所定義的函數，這樣$\mathbb {T} _{1}$就是輸入矢量增加1的算子。

假設我們用算子$\mathbb {H}$表示一個系統，如果系統與移位算子是可交換的，那麼它就是時不變的，例如

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r$

如果系統方程是

${\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}$

並且如果我們可以將系統算子$\mathbb {H}$首先對${\tilde {x}}$進行運算，然後再用移位算子$\mathbb {T} _{r}$進行運算，或者首先用移位算子$\mathbb {T} _{r}$，然後再用系統算子$\mathbb {H}$進行運算，並且這兩種方法的結果等價，那麼系統就是時不變的。

首先用系統算子進行運算將得到

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}$

首先用移位算子將得到

$\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}$

如果系統是時不變的，那麼

$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}$

參見

• 有限脈衝響應
• 線性時不變系統理論
• Sheffer sequence
• 狀態空間
• 系統分析
• 時變系統
• 平移不變系統