正交函數

數學中,正交函數orthogonal functions)所屬的函數空間是有雙線性形式向量空間。當函數空間的定義域是一個區間,雙線性形式可能是積分式:

函數在這個積分值是0時正交,即 只要 。 如有限維空間中的向量一樣,正交函數可以形成函數空間的無限基。從概念上講,上述積分等效於矢量點積; 如果兩個向量的點積為零,則它們是相互獨立的(正交的)。

是非零L2-範數正交函數列。則數列L2-範數的函數,形成了一個正交數列。一個有定義的L2-範數,積分必須有界,這限制了函數需要是平方可積函數

三角函數

幾組正交函數在逼近函數時被用作標準基。例如,正弦函數sin nxsin mx在積分區間 上是正交的,這裡 nm是正整數。而

 

兩個正弦函數的乘積的積分值就抵消了。[1] 加上餘弦函數,這些正交函數可以用於組成一個三角多項式,通過傅里葉級數在一個區間上逼近給定的函數。

多項式

對於單項式序列 (區間 )進行格拉姆-施密特正交化可以得到勒讓德多項式。另一類正交多項式是伴隨勒讓德多項式

正交多項式的研究與權重 有關:

 

對於 區間上的拉蓋爾多項式,權重函數是 

物理學家或概率論研究者在 區間上使用埃爾米特多項式,權重是  

切比雪夫多項式定義在 上,使用權重  

澤爾尼克多項式定義在單位圓上,有徑向正交性和角度正交性。

二值函數

沃爾什函數哈爾小波變換是在離散區間上的正交函數的例子。

有理函數

 
切比雪夫有理函數圖像,n=0,1,2,3和4,x在0.01和100之間。

勒讓德多項式和切比雪夫多項式在[−1, 1]上提供正交函數族,但偶爾需要[0, ∞)上的正交函數族。這種情況下可以先使用Cayley變換英語Cayley transform,讓參數在[−1, 1]內。這個過程可以得到 有理正交函數族,稱為勒讓德有理函數英語Legendre rational functions切比雪夫有理函數英語Chebyshev rational functions

在微分方程中

有邊界條件的線性微分方程的解常常可以寫成帶權重的正交函數的和,(即本徵函數),進而有廣義傅里葉級數英語generalized Fourier series

參見

參考資料

  1. ^ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

外部連結