理想 (環論)


理想(Ideal)是一個環論中的概念。 若某的子集為在原環加法的定義下的子,且其中的元素在原環乘法下與任意原環中的元素結果都在該子群中,則稱其為原環的理想。 通俗地說,一環的理想在加法上成群且在乘法上表現如同一個黑洞。 理想把整數的某些子集,例如偶數或3的倍數組成的集合給一般化了。兩個偶數相加或相減結果仍是偶數,偶數與任意整數相乘的結果也仍是偶數;這些閉包和吸收的性質正是理想的定義。理想可以被用來構造商環,這類似於在群論里,正規子群可以被用來構造商群

歷史

恩斯特·庫默爾提出了理想數的概念,以此作為那些不具有唯一因子分解的數環的「缺失」的因子。「理想」在這裡的意思是它只存在於想象中,可以類比在幾何中那些「理想」的幾何對象,比如無窮遠處的點。[1]隨後在1876年,理查德·戴德金狄利克雷數論講義書的第三版中用被稱為「理想」的數的集合代替了庫默爾之前未定義的概念。[1][2][3]之後這個概念被大衛·希爾伯特艾米·諾特從數環拓展到了多項式環以及其他交換環上。

定義

(R,+,·),已知(R, +)是阿貝爾群。R的子集I稱為R的一個右理想,若I滿足:

  1. (I, +)構成(R, +)的子群。
  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,i·r ∈ I。

類似地,I稱為R的左理想,若以下條件成立:

  1. (I, +)構成(R, +)的子群。
  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,r·i ∈ I。

若I既是R的右理想,也是R的左理想,則稱I為R的雙邊理想,簡稱R上的理想

示例

  • 整數環的理想:整數環Z只有形如nZ的理想。

一些結論

  • 在環中,(左或右)理想的交和並仍然是(左或右)理想。
  • 對於R的兩個理想A,B,記 。按定義不難證明:
  1. 如果A是R的左理想,則AB是R的左理想。
  2. 如果B是R的右理想,則AB是R的右理想。
  3. 如果A是R的左理想,B是R的右理想,則AB是R的雙邊理想。
  • R的子集I是R的理想,若I滿足:
  1. ∀a,b ∈ I,a - b∈I。
  2. ∀a ∈ I, r ∈ R,則a·r∈ I。
  • 交換環的理想:交換環的理想都是雙邊理想。
  • 除環的理想:除環中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

生成理想

如果   是環   的一個非空子集,令  , 其中

 

 

 

 

  是環   的理想,這個理想稱為   中由   生成的理想,  稱為生成元集。同群的生成子群類似,   中所有包含   的理想的交,因此是   中包含   的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況:

  1.   是交換環時, ;
  2.   是有單位元 的環時, ;
  3.   是有單位元的交換環時, .

主理想

設集合A = {a1,a2,...,an},則記<A> = <a1,a2,...,an>,稱 是有限生成理想。特別當 是單元素集時,稱 為環R的主理想。注意 作為生成元一般不是唯一的,如  的一般形式是:

 
  • 性質: 
幾類特殊環中的主理想:
  1. 如果是交換環,則 
  2. 如果是有單位元的環,則 
  3. 如果是有單位元的交換環,則 

相關概念和結論

  • 真理想:若I是環R的理想,且I是R的真子集,I稱為R的真理想
  • 極大理想:環R的一個真理想I被稱為R的極大理想,若不存在其他真理想J,使得I是J的真子集
    • 極大左理想:設I是環R的左理想,若I ≠ R並且在I與R之間不存在真的左理想,則稱I是環R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關係:
      1. 如果I是極大左理想,又是雙邊理想,則I是極大理想。
      2. 極大理想未必是極大左理想。
    • 單環:在幺環中,若零理想是其極大理想,稱該環為單環
      • 除環是單環,其零理想是極大理想。
      • 域是單環。
    • 在整數環Z中,由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是:p是素數。
    • 設R是有單位元1的交換環。理想I是R的極大理想的充分且必要條件是:商環R / I是域。
    • 設I是環R的左理想,則I是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在I中的左理想J都有I+J=R。
  • 素理想:環R的真理想I被稱為素理想,若∀R上的理想A,B,有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
  • 素環:若環R的零理想是素理想,則稱R是素環(或質環)。
    • 無零因子環是素環。
    • 在交換環R中,真理想I是素理想的充要條件是:R / I是素環。
  • 准素理想:環R的真理想I。若∀R上的理想P,有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I,稱I是R的准素理想
    • 准素理想是一類比素理想相對較弱的理想。素理想是准素理想,反之不成立。

參考文獻

  • Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
  • Lang, Serge. Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-22025-3. 
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
  • Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971, MR 0349811, Zbl 0237.18005 

注釋

  1. ^ 1.0 1.1 John Stillwell. Mathematics and its history. 2010: 439. 
  2. ^ Harold M. Edwards. Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. 1977: 76. 
  3. ^ Everest G., Ward T. An introduction to number theory. 2005: 83. 

參見