皮亞諾公理

皮亞諾公理（英語：Peano axioms；義大利語：Assiomi di Peano），也稱皮亞諾公設，是意大利數學家朱塞佩·皮亞諾提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。

內容

圖中所示的多米諾骨牌結構（淺色最近的一塊為0）符合皮亞諾的前四條公理，第五條公理則確保數學歸納法正確性，即排除與淺色不相關的深色骨牌的結構。

皮亞諾的這五條公理用非形式化方法敘述如下：

1. 0是自然數；
2. 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數；
3. 對於每個自然數b、c，b=c當且僅當b的後繼數=c的後繼數；
4. 0不是任何自然數的後繼數；
5. 任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，可以證明對a' 也真。那麼，命題對所有自然數都真。

其中，一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數，例如，0的後繼數是1，1的後繼數是2等等；公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理。

若不將0視作自然數，則公理1,4,5中的「0」要換成「1」。

更正式的定義如下：

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組（X, x, f）：

• X是一集合，x為X中一元素，f是X到自身的映射。
• x不在f的值域內。（對應上面的公理4）
• f為一單射。（對應上面的公理3）
• 若A為X的子集並滿足：
  • x屬於A,且
  • 若a屬於A,則f（a） 亦屬於A

則A = X。

正式定義可以用謂詞邏輯表示如下:

戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的三元組 (S, f, e)

• $(e\in S)$
• $(\forall a\in S)(f(a)\in S)$
• $(\forall b\in S)(\forall c\in S)(f(b)=f(c)\implies b=c)$
• $(\forall a\in S)(f(a)\neq e)$
• $(\forall A\subseteq S)(((e\in A)\land (\forall a\in A)(f(a)\in A))\implies (A=S))$

皮亞諾算術

皮亞諾算術(PA)的公理:

• $\forall x(Sx\neq 0)$。
• $\forall x,y((Sx=Sy)\Rightarrow x=y)$。
• $(\varphi [0]\wedge \forall x(\varphi [x]\Rightarrow \varphi [Sx]))\Rightarrow \forall x(\varphi [x])$，對於在 PA 的語言中的任何公式 $\varphi$。
• $\forall x(x+0=x)$。
• $\forall x,y(x+Sy=S(x+y))$。
• $\forall x(x\cdot 0=0)$。
• $\forall x,y(x\cdot Sy=(x\cdot y)+x)$。

參見

• 自然數
• 數學基礎
• 古德斯坦定理
• 邏輯主義
• 印符數論

延伸閱讀

• Buss, Samuel R. Chapter II: First-Order Proof Theory of Arithmetic. Buss, Samuel R. (編). Handbook of Proof Theory. New York: Elsevier Science. 1998. ISBN 9780444898401. 

• Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic (Discrete Mathematics and Its Applications) 6th. Chapman and Hall/CRC. June 2015 [December 1979]. ISBN 9781482237726. 

• Smullyan, Raymond M. The Gödelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. Dover Publications. December 2013. ISBN 978-0-486-49705-1. 

• Takeuti, Gaisi. Proof theory Second. Mineola, New York. 2013. ISBN 978-0486490731. 

外部連結

• Murzi, Mauro. Henri Poincaré. 《網際網路哲學百科全書》.  Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
• Podnieks, Karlis. 3. First Order Arithmetic. What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around. 2015-01-25: 93–121 [2022-12-29]. （原始內容存檔於2023-03-26）. 
• Hazewinkel, Michiel (編), Peano axioms, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韋斯坦因. Peano's Axioms. MathWorld. 
• Burris, Stanley N. What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind. 2001 [2022-12-29]. （原始內容存檔於2022-10-26）.  Commentary on Dedekind's work.

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