隱藏吸引子
隱藏吸引子（hidden attractor）是動力系統中一種特別的吸引子，系統中不但有穩定的振盪（極限環或混沌吸引子），也存在唯一的穩定平衡點。
在動力系統的分岔理論中，若有不失去平穩集穩定性的有界振盪，會稱為是隱藏振盪（hidden oscillation）。在非線性控制理論中，非時變系統出現狀態有界的隱藏振盪，表示其越過了參數域的邊界，平穩集的局部穩定性也表示全域的穩定性（卡爾曼猜想）。若隱藏振盪（或是動力系統相空間內的某隱藏振盪子集）可以吸引鄰近幾乎所有的振盪，則稱為是隱藏吸引子（hidden attractor）。
針對有單一平衡點，而且平衡點具有全域吸引性的動力系統，隱藏振盪的出現表示其行為特性的改變，由單穩定性變成雙穩定性（bi-stability）。一般來說，動力系統會變成多穩態，同時在相空間中會同時出現局部的吸引子。平凡吸引子（穩定的平衡點）可以用解析或是數值的方式求得。但要找極限環（週期吸引子）或混沌吸引子的困難度就很高了（參考希爾伯特第十六問題）。
將吸引子分為隱藏或自激兩類
為了要識別物理系統或是數值實驗中的局部吸引子，需要在吸引子的吸引區域（basin of attraction）中選定一點為初始狀態，觀察系統狀態從初始狀態開始後，吸引子的特性。將吸引子分為隱藏或自激兩類，本身就反映出在相空間中找局部吸引子吸引區域的困難點。
定義[1][2][3] 若吸引子的吸引區域沒有和其他平衡點的開放鄰域有交集，此吸引子稱為隱藏吸引子（hidden attractor），否則，此吸引子稱為自激吸引子（self-excited attractor）。
將吸引子分為隱藏或自激的想法是由Gennady Leonov和Nikolay V. Kuznetsov提出的，和2009年首次發現蔡氏電路中的隱藏吸引子有關[4][5][6][7]。同樣的，任何有界的振盪，若在相空間中不一定有開鄰界的吸引區域，則可以分類為自激振盪或隱藏振盪。
自激吸引子
針對自激吸引子，其吸引區域會伴隨一個不穩定的平衡點，因此可以用標準數值的程序來找自激吸引子，使軌跡從不穩定平衡點的鄰域開始，看是否會被吸引到某個振盪狀態中，若有，即為自激吸引子（自激振盪）。因此，自激吸引子就算和多穩態一起出現，也可用數值的方式發現吸引子，並加以視覺化。在洛倫茨吸引子中，針對經典的參數下，吸引子相對所有存在的平衡點都是自激吸引子, 可以在其附近將軌跡視覺化。不過有些參數下，會有二個平凡的吸引子和自激的混沌吸引子並存（自激吸引子只和不穩定的零平衡點有關）。Van der Pol、B-Z反應、若斯叻吸引子、蔡氏電路和厄農映射的吸引子都是自激吸引子。
伊甸猜想是猜想自激吸引子的李雅普諾夫維數，不會超過對應不穩定流形的李雅普諾夫維數，也就是和吸引子吸引區域有重疊的不穩定流形[8]。
隱藏吸引子
隱藏吸引子也有吸引區域，但不和其他的平衡點相連，因此在相空間中是「隱藏」的。例如，隱藏吸引子可能是以下系統的吸引子：沒有平衡點的系統（例如1902年提出，有Sommerfeld效應的旋轉機電系統）、只有一個平衡點，且穩定的系統（例如阿依熱爾曼猜想的反例以及卡爾曼猜想的反例，這些猜想都是有關非線性控制系統的單穩定性）。最早提出的相關理論問題是希爾伯特第十六問題的後半部，此問題是有關二維多項式系統中，極限環的數量以及相互的位置，而嵌套的穩定極限環就是隱藏的週期吸引子。隱藏吸引子的概念已成為許多應用的動態模型中，發現隱藏吸引子的催化劑[1][9][10]。
一般而言，有關隱藏吸引子的問題，沒有通用直接的方式來追蹤或是預測系統是否會有隱藏吸引子（例如[11]）。不過針對二維系統，可以用解析方式觀測隱藏吸引子（例如希爾伯特第十六問題的第二個問題）。若要研究複雜非線性多維系統的穩定性和振盪，多半會用數值方法進行。 在多維系統中，不太可能用亂數初始資料進行軌跡積分來找區域性的隱藏吸引子，原因是其吸引區域可能很小，而且其維度可能比系統的維度要小很多。因此這種問題的數值區域化需要發展特殊的數值解析計算程序[1][12][8]，可以選擇隱藏吸引子吸引區域中的一點作為啟始點（不包括平衡點的鄰域），再進行軌跡計算。也有一些以同倫（homotopy）和數值延拓法（numerical continuation）為基礎的有效方式：是建構類似系統的程序，此程序使得針對第一個系統（啟始系統）要數值計算振盪解（啟始振盪）的初值可以用解析方式求得，接下來將啟始振盪轉換到允許數值計算的第二個系統。
隱藏吸引子理論
將吸引子分為自激吸引子和隱藏吸引子，是出現隱藏振盪理論的基本前提，這代表了安德羅諾夫（Andronov）隱藏理論的現代發展。找到全域穩定性的確切邊界是關鍵。N. Kuznetsov將全域穩定性分類為平凡的（依局部的分叉決定）或隱藏的（依照非局部的分叉以及隱藏振盪的出現）兩類[13][14]。
參考資料
- ^ 1.0 1.1 1.2 Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2013, 23 (1): 1330002–219. Bibcode:2013IJBC...2330002L. doi:10.1142/S0218127413300024
.
- ^ Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2021-06-29]. S2CID 21657305. doi:10.1134/S106423071104006X. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.
- ^ Leonov, G.A.; Kuznetsov, N.V.; Mokaev, T.N. Homoclinic orbits, and self-excited and hidden attractors in a Lorenz-like system describing convective fluid motion. The European Physical Journal Special Topics. 2015, 224 (8): 1421–1458. S2CID 119227870. arXiv:1505.04729 . doi:10.1140/epjst/e2015-02470-3.
- ^ Kuznetsov N.V.; Leonov G.A.; Vagaitsev V.I. Analytical-numerical method for attractor localization of generalized Chua's system. IFAC Proceedings Volumes. 2010, 43 (11): 29–33. doi:10.3182/20100826-3-TR-4016.00009.
- ^ Leonov G.A.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V. Localization of hidden Chua's attractors (PDF). Physics Letters. 2011, 375 (23): 2230–2233 [2021-06-29]. Bibcode:2011PhLA..375.2230L. doi:10.1016/j.physleta.2011.04.037. （原始內容存檔 (PDF)於2022-01-19）.
- ^ Leonov G.A.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V. Hidden attractor in smooth Chua systems (PDF). Physica D. 2012, 241 (18): 1482–1486 [2021-06-29]. Bibcode:2012PhyD..241.1482L. doi:10.1016/j.physd.2012.05.016. （原始內容存檔 (PDF)於2022-01-19）.
- ^ 8.0 8.1 Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Mokaev, T.N.; Prasad, A.; Shrimali, M.D. Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dynamics. 2018, 92 (2): 267–285. S2CID 54706479. arXiv:1504.04723 . doi:10.1007/s11071-018-4054-z.
- ^ Kuznetsov N. V.; Leonov G. A. Hidden attractors in dynamical systems: systems with no equilibria, multistability and coexisting attractors. IFAC Proceedings Volumes (IFAC World Congress Proceedings). 2014, 47 (3): 5445–5454. doi:10.3182/20140824-6-ZA-1003.02501.
- ^ Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Yuldashev, M.V.; Yuldashev, R.V. Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017, 51: 39–49. Bibcode:2017CNSNS..51...39K. doi:10.1016/j.cnsns.2017.03.010.
- ^ Chen, G.; Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Mokaev, T.N. Hidden attractors on one path: Glukhovsky-Dolzhansky, Lorenz, and Rabinovich systems. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015, 27 (8): art. num. 1750115. S2CID 21425647. arXiv:1705.06183 . doi:10.1142/S0218127417501152.
- ^ Kuznetsov N.V. Theory of hidden oscillations and stability of control systems (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2020, 59 (5): 647–668. doi:10.1134/S1064230720050093.
- ^ Kuznetsov, N.V.; Mokaev, T.N.; Kuznetsova, O.A.; Kudryashova, E.V. The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension. Nonlinear Dynamics. 2020, 102 (2): 713–732 [2021-06-28]. doi:10.1007/s11071-020-05856-4 . （原始內容存檔於2021-06-28）.
書籍
- Chaotic Systems with Multistability and Hidden Attractors (Eds.: Wang, Kuznetsov, Chen), Springer, 2021 (doi:10.1007/978-3-030-75821-9 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
- Nonlinear Dynamical Systems with Self-Excited and Hidden Attractors (Eds.: Pham, Vaidyanathan, Volos et al.), Springer, 2018 (doi:10.1007/978-3-319-71243-7)