1 + 2 + 4 + 8 + …

數學領域,1 + 2 + 4 + 8 + … 是一個無窮級數,它的每一項都是2的冪。作為幾何級數,它以 1 為首項,2 為公比。

1+2+3+4 的部分和。

作為實數級數,他發散無窮,所以在一般意義下它的和不存在。

如果以代數運算的方式來計算這個數列的和,雖然可以得到∞以及-1這兩個值,但這必須在更廣泛的意義中才能成立。

歷史數學教育1 + 2 + 4 + 8 + …是正項發散幾何級數的一個基本例子。許多結果和爭論引出了許多類似級數,其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …

求和

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和數列是 1, 3, 7, 15, …,由於該數列發散到無窮,所以部分和數列也發散到無窮。因此任何通常求和方法得到的和將是無窮,包括切薩羅求和法阿貝爾求和法[1]

另一方面,有一種廣義方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和為有限值 -1。相應的冪級數

 

收斂半徑1/2,因此它在 x = 1 時不收斂。然而,這樣定義的函數 f 在去掉點 x = 1/2 後,具有到複平面唯一的解析開拓,並且具有相同的形式 f(x) = 1/(1 − 2x)。由於 f(1) = −1,原級數 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (E),其和為 −1,並且 -1 是級數的(E)和。(此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在無窮級數上的研究而得)[2]

用幾乎完全相同的方法可以考慮係數為 1 的冪級數,例如:

 

並用 y = 2 代入。當然這兩個級數可由關係式 y = 2x 等價轉換。

事實上(E)和為1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一個有限值,這表明廣義方法不是完全符合慣例的。另一方面,他具有某些求和法可取的性質,包括穩定性和線性性質。這些後面的兩個公理實際上強制級數的和為 -1,因此它令下面的操作有效:

 

在某種意義下,s = ∞ 是方程 s = 1 + 2s的一個解(例如∞是黎曼球莫比烏斯變換z → 1 + 2z 的兩個不動點之一)。如果某種已知的求和方法返回一個常數s例如不是∞,那麼這是容易確定的。在這種情形下s可能由方程的兩邊消去,得到 0 = 1 + s,所以 s = −1[3]

注釋

  1. ^ Hardy p.10
  2. ^ Hardy pp.8, 10
  3. ^ The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy p.19.

參考文獻

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