L^p範數

$L_{p}$ -範數（英語： $L_{p}$ -norm，亦稱 $\ell _{p}$ -範數、 $p$ -範數)是向量空間中的一組範數。 $L_{p}$ -範數與冪平均有一定的聯繫。它的定義如下：

$L_{p}({\vec {x}})=\lVert {\vec {x}}\rVert _{p}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p},\qquad {\vec {x}}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\,p\geqslant 1.$

$p$ 的不同取值

圖中的

q

即是

L_{p}

範數中的

p

。這是當

p

取不同值時，在

\mathbb {R} ^{2}

空間上的

L_{p}

-範數等高線的其中一條。該圖展現了各

L_{p}

-範數的形狀。

$p=-\infty$ : $\lVert {\vec {x}}\rVert _{-\infty }=\lim _{p\to -\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\min _{i}|x_{i}|$ 。^{[來源請求]}
$p=0$ ： $\lVert {\vec {x}}\rVert _{0}=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\neq 0\right]$ ，也就是所有 $x_{i}$ 中，不等於零的個數。注意，這裡的 $L_{0}$ -範數並非通常意義上的範數（不滿足三角不等式或次可加性）。^[1]
$p=1$ ： $\lVert {\vec {x}}\rVert _{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|$ ，即 $L_{1}$ -範數是向量各分量絕對值之和，又稱曼哈頓距離。
$p=2$ : $\lVert {\vec {x}}\rVert _{2}={\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$ ，此即歐氏距離。
$p=+\infty$ : $\lVert {\vec {x}}\rVert _{\infty }=\lim _{p\to +\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\max _{i}|x_{i}|$ ，此即無窮範數或最大範數，亦稱切比雪夫距離。