三階七邊形鑲嵌蜂巢體
在幾何學中，三階七邊形鑲嵌蜂巢體又稱三階七邊形鑲嵌堆砌，是一種由正七邊形鑲嵌完全填滿非緊雙曲空間的幾何結構[1][2][3]。
| 三階七邊形鑲嵌蜂巢體 | |
|---|---|
 | |
| 類型 | 雙曲正堆砌 |
| 家族 | 堆砌 |
| 維度 | 三維雙曲空間 |
| 對偶多胞形 | 七階四面體堆砌 |
| 數學表示法 | |
| 考克斯特符號 |     |
| 施萊夫利符號 | {7,3,3} |
| 性質 | |
| 胞 | 七邊形鑲嵌 {3,7}  |
| 面 | 正七邊形 {7}  |
| 組成與佈局 | |
| 頂點圖 | 正四面體 {3,3}  |
| 對稱性 | |
| 對稱群 | [7,3,3] |
| 特性 | |
| 正、非緊 | |
性質
三階七邊形鑲嵌蜂巢體由正七邊形鑲嵌的胞組成，每條稜都是三個正七邊形鑲嵌的公共稜，整個圖形完全由正七邊形組成。在這個圖形中，每個正七邊形鑲嵌胞的頂點都位於雙曲超球形（雙曲三維超圓形）上。
三階七邊形鑲嵌蜂巢體在施萊夫利符號計為{7,3,3}，其中{7,3}正七邊形鑲嵌，加一個3表示每條稜周圍都有三個正七邊形鑲嵌。三階七邊形鑲嵌蜂巢體的每個頂點都是4個七邊形鑲嵌的公共頂點，頂點圖為正四面體，在施萊夫利符號計為{3,3}。
結構
由於正七邊形鑲嵌並不是一種多面體，是一種雙曲空間的雙曲平面鑲嵌，因此要讓其每個頂點都是三個正七邊形鑲嵌的公共頂點就得將其「摺彎」，並摺向非緊湊空間，如同三階偽多邊形鑲嵌的偽多邊形。
| {7,3,3} | {12i,3} |
|---|---|
|
|
| 三階七邊形鑲嵌蜂巢體，每個「氣泡」都是一個正七邊形鑲嵌，而其並無封閉於無窮遠處（龐加萊球體邊界）。 | 三階偽多邊形鑲嵌中的偽多邊形，其兩端並無在無窮遠處（龐加萊圓盤邊界）會合。 |
相關多胞體與堆砌
三階七邊形鑲嵌蜂巢體是一種每個頂點都是三個正多邊形鑲嵌之公共頂點的圖形，其他具有同樣性質的蜂巢體有[4]：
| {p,3,3}多胞形 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 空間 | S3 | H3 | |||||||||
| 形式 | 有限 | 仿緊 | 非緊 | ||||||||
| 名稱 | {3,3,3} | {4,3,3} | {5,3,3} | {6,3,3} | {7,3,3} | {8,3,3} | ... {∞,3,3} | ||||
| 圖像 | 
|
|
|
|
|
||||||
| 胞 {p,3} |
 {3,3} |
 {4,3} |
 {5,3} |
 {6,3} |
{7,3} |
 {8,3} |
 {∞,3} | ||||
三階七邊形鑲嵌蜂巢體是一種由七邊形鑲嵌構成的蜂巢體，其他由七邊形鑲嵌構成的蜂巢體包括：
| {7,3,p} 非緊蜂巢體 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 空間 | H3 | ||||||||||
| 名稱 | 三階 七邊形鑲嵌 蜂巢體 |
四階 七邊形鑲嵌 蜂巢體 |
五階 七邊形鑲嵌 蜂巢體 |
六階 七邊形鑲嵌 蜂巢體 |
七階 七邊形鑲嵌 蜂巢體 |
八階 七邊形鑲嵌 蜂巢體 |
無限階 七邊形鑲嵌 蜂巢體 | ||||
| 施萊夫利 符號 |
{7,3,3} | {7,3,4} | {7,3,5} | {7,3,6} | {7,3,7} | {7,3,8} | ... {7,3,∞} | ||||
考克斯特       
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|
 
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|
 
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|
 
|
 
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| 圖像 |
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|||||||
| 頂點圖 {3,p} 
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{3,3}
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 {3,4}
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 {3,5}
|
 {3,6}
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 {3,7}
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 {3,8}
|
 {3,∞}
| ||||
參考文獻
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2nd edition ISBN 0-8247-0709-5 (Chapters 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II)
- ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (2014/08/01)
- ^ {7,3,3} Honeycomb Meets Plane at Infinity （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (2014/08/14)
- ^ The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, , ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）) Table III
- ^ Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
外部連結
- Danny Calegari, Kleinian, a tool for visualizing Kleinian groups, Geometry and the Imagination 4 March 2014. [1]