交錯多項式

代數中,交錯多項式(alternating polynomial)是多項式,使得交換任意兩個變量,多項式的符號發生變化:

等價地,排列變量時,多項式的值會因排列的符號而改變:

更一般地說,若交換中任意兩個變量會改變符號、而交換則保持不變,就稱多項式中交錯。[1]

與對稱多項式的關係

對稱多項式與交錯多項式(具有相同的變量 )之積有如下表現:

  • 兩對稱多項式之積仍是對稱的;
  • 對稱多項式與交錯多項式之積是交錯的;
  • 兩交錯多項式之積是對稱的。

這正是奇偶性的加法表,「對稱」對應「偶」,「交錯」對應「奇」。於是,對稱多項式與交錯多項式的直和構成了超代數 -分次代數),其中對稱多項式是偶部,交錯多項式是奇部。分次與多項式的次數無關。

交錯多項式在對稱多項式代數上形成了(超代數的奇部是偶部上的模);事實上,它是秩為1的自由模,以n范德蒙多項式為生成子。

若係數環的特徵為2,則這兩個概念沒有區別,即交錯多項式就是對稱多項式。

范德蒙多項式

基本交錯多項式是范德蒙多項式

 

這顯然是交錯的,交換兩變量會改變其中一項的符號,而不改變其他項的符號。[2]

交錯多項式正是范德蒙多項式乘以對稱多項式: ,其中s是對稱多項式。這是因為:

  •  是每個交錯多項式的因式: 是每個交錯多項式的因式,因為如果 ,則多項式為零(交換它們不會改變多項式,所以得到
 
於是 是因式),於是 是因式。
  • 交錯多項式乘以對稱多項式仍是交錯多項式,於是 的所有倍數都是交錯多項式。

相反,兩交錯多項式相除是(可能有理的)對稱多項式(不必是多項式),而交錯多項式除以范德蒙多項式是多項式。舒爾多項式就是這樣定義的,即交錯多項式除以范德蒙多項式。

環結構

因此,用 表示對稱多項式環,則對稱與交錯多項式環是 ,更精確地說是 ,其中 是對稱多項式,即判別式

也就是說,對稱與交錯多項式環是對稱多項式環的2次擴張,其中伴隨了一個判別式的平方根。

或者說,是

 

若2不可逆,情況就有些不同,必須使用不同的多項式 ,得到不同的關係。見Romagny。

表示論

表示論視角來看,對稱與交錯多項式是對稱群在n元多項式環的n個字母上的作用的子表示。(形式上,對稱群作用於n個字母,因此也作用於導出對象,如n個字母上的自由對象——多項式環之類。)

對稱群有2個1維表示:平凡表示與符號表示。對稱多項式是平凡表示,交錯多項式是符號表示。形式上,任何對稱(或交錯)多項式的純量跨度(scalar span)是對稱群的平凡(或符號)表示,多項式的乘法張量就是表示。

特徵為2時,這些並不是不同的表示,分析就複雜了。

 ,對稱群對多項式環的作用還有其他子表示,這在對稱群表示定理中有討論。

不穩定

交錯多項式是不穩定的現象:n元對稱多項式環可從任意多元對稱多項式環得到,方法是計算 以上的變量對應的值設為0,因此對稱多項式的定義是「穩定」或「兼容」的。然而,交錯多項式,尤其范德蒙多項式卻並非如此。

另見

註釋

  1. ^ Giambruno & Zaicev (2005),第12頁.
  2. ^ 對其他項,只是重排了: 情形,交換  會將 變為 ,並將  互換,但不改變其符號。

參考文獻