交错多项式

代数中,交错多项式(alternating polynomial)是多项式,使得交换任意两个变量,多项式的符号发生变化:

等价地,排列变量时,多项式的值会因排列的符号而改变:

更一般地说,若交换中任意两个变量会改变符号、而交换则保持不变,就称多项式中交错。[1]

与对称多项式的关系

对称多项式与交错多项式(具有相同的变量 )之积有如下表现:

  • 两对称多项式之积仍是对称的;
  • 对称多项式与交错多项式之积是交错的;
  • 两交错多项式之积是对称的。

这正是奇偶性的加法表,“对称”对应“偶”,“交错”对应“奇”。于是,对称多项式与交错多项式的直和构成了超代数 -分次代数),其中对称多项式是偶部,交错多项式是奇部。分次与多项式的次数无关。

交错多项式在对称多项式代数上形成了(超代数的奇部是偶部上的模);事实上,它是秩为1的自由模,以n范德蒙多项式为生成子。

若系数环的特征为2,则这两个概念没有区别,即交错多项式就是对称多项式。

范德蒙多项式

基本交错多项式是范德蒙多项式

 

这显然是交错的,交换两变量会改变其中一项的符号,而不改变其他项的符号。[2]

交错多项式正是范德蒙多项式乘以对称多项式: ,其中s是对称多项式。这是因为:

  •  是每个交错多项式的因式: 是每个交错多项式的因式,因为如果 ,则多项式为零(交换它们不会改变多项式,所以得到
 
于是 是因式),于是 是因式。
  • 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式,于是 的所有倍数都是交错多项式。

相反,两交错多项式相除是(可能有理的)对称多项式(不必是多项式),而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的,即交错多项式除以范德蒙多项式。

环结构

因此,用 表示对称多项式环,则对称与交错多项式环是 ,更精确地说是 ,其中 是对称多项式,即判别式

也就是说,对称与交错多项式环是对称多项式环的2次扩张,其中伴随了一个判别式的平方根。

或者说,是

 

若2不可逆,情况就有些不同,必须使用不同的多项式 ,得到不同的关系。见Romagny。

表示论

表示论视角来看,对称与交错多项式是对称群在n元多项式环的n个字母上的作用的子表示。(形式上,对称群作用于n个字母,因此也作用于导出对象,如n个字母上的自由对象——多项式环之类。)

对称群有2个1维表示:平凡表示与符号表示。对称多项式是平凡表示,交错多项式是符号表示。形式上,任何对称(或交错)多项式的标量跨度(scalar span)是对称群的平凡(或符号)表示,多项式的乘法张量就是表示。

特征为2时,这些并不是不同的表示,分析就复杂了。

 ,对称群对多项式环的作用还有其他子表示,这在对称群表示定理中有讨论。

不稳定

交错多项式是不稳定的现象:n元对称多项式环可从任意多元对称多项式环得到,方法是计算 以上的变量对应的值设为0,因此对称多项式的定义是“稳定”或“兼容”的。然而,交错多项式,尤其范德蒙多项式却并非如此。

另见

注释

  1. ^ Giambruno & Zaicev (2005),第12页.
  2. ^ 对其他项,只是重排了: 情形,交换  会将 变为 ,并将  互换,但不改变其符号。

参考文献