倒數

倒（dào）數（英語：reciprocal）又稱乘法反元素（multiplicative inverse）、乘法逆元素^[1]，在數學中，是與其原數相乘為1的數；即某數 $x$ 的倒數，是一個與 $x$ 相乘的積為1的數，記為 ${\tfrac {1}{x}}$ 或 $x^{-1}$ 。

在抽象代數中，倒數所對應的抽象化概念是乘法群的某個元素的「乘法逆」，也就是相對於群中「乘法」運算的反元素^{[註 1]}。

漢語中，名詞倒數一般用來表示數字的乘法逆，一般在各種數體如：有理數、實數、複數，以及模n的同餘類所構成的乘法群中使用。在複數域（實數域）中，每個除了0以外的複數（實數）都存在倒數：只要用某個數自身除1（也就是說用1除以某個數），即可得到它的倒數。用數學記號表示的話：

一個非零的複數（實數）

a

的倒數定義為使得

a\times b=b\times a=1

成立的複數（實數）

b

，記作

b={\frac {1}{a}}=a^{-1}

例如，

{\frac {3}{8}}

的倒數是

{\frac {8}{3}}

，因為

{\frac {3}{8}}\times {\frac {8}{3}}=1

^[2]

每個複數（實數）只有一個倒數。一般來說，並不是對所有的代數結構中的乘法運算，每個元素都存在其乘法逆，如對矩陣乘法來說，秩小於階數的矩陣就沒有乘法逆，或者在環 $Z_{39}$ 中，元素3和18也沒有乘法逆。一個環中的一個元素有乘法逆當且僅當它是可逆元素，而它的乘法逆是唯一的當且僅當它不是一個零因子，或者說當它是一個正則元。每個非零元素都有乘法逆的環稱為除環。每個非零元素都至多有一個乘法逆的環稱為無零因子環。