均勻多面體對偶

**均勻多面體對偶**
部分的均勻多面體對偶
; 菱形十二面體; （卡塔蘭立體）	; 大菱形三十面體
; 五方偏方面體; （偏方面體）	; 正八面體; （柏拉圖立體）; 雙四角錐; （雙錐體）

均勻多面體對偶或稱均勻對偶、對偶均勻多面體（Dual uniform polyhedron）是均勻多面體的對偶多面體。^[1] 均勻多面體是一種點可遞的立體，由於對偶的特性，因此均勻多面體對偶皆為面可遞的立體。^[2]均勻多面體對偶可以利用多曼·盧克構造從均勻多面體構造。^[3]

種類

均勻多面體對偶是均勻多面體的對偶多面體，因此每一個均勻多面體都有一個對應的均勻多面體對偶。^[1]

5個柏拉圖立體（凸正多面體）。除了正四面體是自身對偶多面體外，其餘四個立體兩兩一組互為對偶（立方體與正八面體、正十二面體與正二十面體）
4個開普勒－龐索立體（星形正多面體）。四個立體兩兩一組互為對偶（小星形十二面體與大十二面體、大星形十二面體與大二十面體）
13個凸卡塔蘭立體。這些立體是屬於均勻多面體的阿基米德立體之對偶多面體。^[4]
53個星形均勻多面體的對偶多面體。^[1]^[5]
所有的雙錐體。雙錐體是屬於均勻多面體的稜柱體之對偶多面體。^[6]
所有的偏方面體。偏方面體是屬於均勻多面體的反稜柱之對偶多面體。^[7]

溫尼爾（英語：Magnus J. Wenninger）在其著作《對偶模型》（Dual Models）描述了所有的均勻多面體對偶以及建構其模型的說明。

多曼·盧克構造

均勻多面體的對偶多面體可以使用多曼·盧克構造（Dorman Luke construction）來構造。其構造的方法為：對偶多面體的每個面透過使用多曼·盧克構造的方法從原始多面體對應的頂點圖導出。^[9]^[10]

舉例來說，截半立方體的對偶多面體是菱形十二面體^[11]。要從截半立方體構造其對偶多面體時，其頂點圖（在下圖以紅色顯示）可以用來導出對偶多面體菱形十二面體的對應面（在下圖以藍色顯示）。

多曼·盧克構造的具體步驟如下：

在任一頂角周圍上選擇點 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，並令這四個點與頂角的頂點 $V$ 滿足 $VA = VB = VC = VD$ 。（此例使用中點）
繪製其頂點圖 $ABCD$ 。
繪製 $ABCD$ 的外接圓。
分別作過 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 與 $ABCD$ 的外接圓相切的切線。
將切線兩兩相交的交點標記為 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$

線段 $EF$ 、 $FG$ 、 $GH$ 、 $HE$ 已繪製為切線的一部分。多邊形 $EFGH$ 即為原始頂點 $V$ 對應在對偶多面體上的面。

此例選擇的頂點圖的大小恰好讓其外接圓位於截半立方體的中分球上，而截半立方體的中分球同時也成為以此構造方式構造出的菱形十二面體之中分球。多曼·盧克構造只有在存在中分球的多面體上才能使用。^[12]例如，均勻多面體一般都存在中分球，因此可以應用於均勻多面體對偶的構造上。

列表

名稱	種類	面數	邊數	頂點數	對稱性	對偶多面體
正四面體	柏拉圖立體	4	6	4	T_d, A₃, [3,3], (*332)	正四面體（自身對偶）
立方體	柏拉圖立體	6	12	8	O_h, B₃, [4,3], (*432)	正八面體
正八面體	柏拉圖立體	8	12	6	O_h, BC₃, [4,3], (*432)	立方體
正十二面體	柏拉圖立體	12	30	20	I_h, H₃, [5,3], (*532)	正二十面體
正二十面體	柏拉圖立體	20	30	12	I_h, H₃, [5,3], (*532)	正十二面體
小星形十二面體	開普勒－龐索立體	12	30	12	I_h（英語：Icosahedral symmetry）, H₃, [5,3], (*532)	大十二面體
大十二面體	開普勒－龐索立體	12	30	12	I_h（英語：Icosahedral symmetry）, H₃, [5,3], (*532)	小星形十二面體
大星形十二面體	開普勒－龐索立體	12	30	20	I_h（英語：Icosahedral symmetry）, H₃, [5,3], (*532)	大二十面體
大二十面體	開普勒－龐索立體	20	30	12	I_h（英語：Icosahedral symmetry）, H₃, [5,3], (*532)	大星形十二面體
三角化四面體	卡塔蘭立體	12	18	8	T_d, A₃, [3,3], *332	截角四面體
菱形十二面體	卡塔蘭立體	12	24	14	O_h, B₃, [4,3], (*432)	截半立方體
三角化八面體	卡塔蘭立體	24	36	14	O_h, B₃, [4,3], (*432)	截角立方體
四角化立方體	卡塔蘭立體	24	36	14	O_h, B₃, [4,3], (*432)	截角八面體
鳶形二十四面體	卡塔蘭立體	24	48	26	O_h, BC₃, [4,3], (*432)	小斜方截半立方體
四角化菱形十二面體	卡塔蘭立體	48	72	26	O_h, B₃, [4,3], (*432)	大斜方截半立方體
五角二十四面體	卡塔蘭立體	24	60	38	O_h, ½BC₃, [4,3], (*432)	扭棱立方體
菱形三十面體	卡塔蘭立體	30	60	32	I_h, H₃, [5,3], (*532)	截半二十面體
三角化二十面體	卡塔蘭立體	60	90	32	I_h, H₃, [5,3], (*532)	截角十二面體
五角化十二面體	卡塔蘭立體	60	90	32	I_h, H₃, [5,3], (*532)	截角二十面體
鳶形六十面體	卡塔蘭立體	60	120	62	I_h, H₃, [5,3], (*532)	小斜方截半二十面體
四角化菱形三十面體	卡塔蘭立體	120	180	62	I_h, H₃, [5,3], (*532)	大斜方截半二十面體
五角六十面體	卡塔蘭立體	60	150	92	I_h, H₃, [5,3], (*532)	扭棱十二面體
四面半無窮星形六面體	無窮星形多面體	6	12	7	T_d, [3,3], (*332)	四面半六面體
立方半無窮星形八面體	無窮星形多面體	12	24	10	O_h, [4,3], (*432)	立方半八面體
立方半無窮星形八面體	無窮星形多面體	12	24	12	O_h, [4,3], (*432)	八面半八面體
反平行四邊形二十四面體	星形多面體	24	48	18	O_h, [4,3], (*432)	大斜方立方體
大六角二十四面體	星形多面體	24	48	20	O_h, [4,3], (*432)	大立方截半立方體
大鳶形二十四面體	星形多面體	24	48	26	O_h, [4,3], (*432)	非凸大斜方截半立方體
小反平行四邊形二十四面體	星形多面體	24	48	18	O_h, [4,3], (*432)	小斜方立方體
小六角星化二十四面體（英語：Small hexacronic icositetrahedron）	星形多面體	24	48	20	O_h, [4,3], (*432)	小立方立方八面體
大三角化八面體	星形多面體	24	36	14	O_h, [4,3], (*432)	星形截角立方體
大六角化八面體（英語：Great disdyakis dodecahedron）	星形多面體	48	72	26	O_h, [4,3], (*432)	星形截角截半立方體
四重二方六面體（維基數據所列：Q18048480）	星形多面體	48	72	20	O_h, [4,3], (*432)	立方截角立方八面體
小星形五角化十二面體	星形多面體	60	90	24	I_h, [5,3], (*532)	截角大十二面體
大十二角星化六十面體（英語：Great dodecacronic hexecontahedron）	星形多面體	60	120	44	I_h, [5,3], (*532)	大十二面截半二十面體
大凧形六十面體（英語：Great deltoidal hexecontahedron）	星形多面體	60	120	62	I_h, [5,3], (*532)	非凸大斜方截半二十面體
大菱形十二面六十面體（英語：Great rhombidodecacron）	星形多面體	60	120	42	I_h, [5,3], (*532)	大斜方十二面體
中鳶形六十面體（英語：Medial deltoidal hexecontahedron）	星形多面體	60	120	54	I_h, [5,3], (*532)	斜方截半大十二面體
內側二十角星化六十面體（英語：Medial icosacronic hexecontahedron）	星形多面體	60	120	44	I_h, [5,3], (*532)	二十面化截半大十二面體
斜方星形二十面體	星形多面體	60	120	50	I_h, [5,3], (*532)	斜方二十面體
小六角六十面體（英語：Small hexagonal hexecontahedron）	星形多面體	60	180	112	I_h, [5,3], (*532)	完全扭稜二十面體
小二十面半無窮星形十二面體（英語：Small icosihemidodecacron）	無窮星形多面體	30	60	26	I_h, [5,3], (*532)	小二十面半十二面體
小十二面半無窮星形十二面體（英語：Small dodecahemidodecacron）	無窮星形多面體	30	60	18	I_h, [5,3], (*532)	小十二面半十二面體
大菱形三十面體	星形多面體	30	60	32	I_h, [5,3], (*532)	大截半二十面體
大十二面半無窮星形十二面體（英語：Great dodecahemidodecacron）	無窮星形多面體	30	60	18	I_h, [5,3], (*532)	大十二面半十二面體
大二十面半無窮星形十二面體（英語：Great icosihemidodecacron）	無窮星形多面體	30	60	26	I_h, [5,3], (*532)	大二十面半十二面體
內側菱形三十面體	星形多面體	30	60	24	I_h, [5,3], (*532)	截半大十二面體
小十二面半無窮星形二十面體（英語：Small dodecahemicosacron）	無窮星形多面體	30	60	22	I_h, [5,3], (*532)	小十二面半二十面體
大十二面半無窮星形二十面體（英語：Great dodecahemicosacron）	無窮星形多面體	30	60	22	I_h, [5,3], (*532)	大十二面半二十面體
大雙三角十二角星化六十面體（英語：Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）	星形多面體	60	120	44	I_h, [5,3], (*532)	大雙三角十二面截半二十面體
大二十角星化六十面體（英語：Great icosacronic hexecontahedron）	星形多面體	60	120	52	I_h, [5,3], (*532)	大二十面化截半二十面體
大十二面二十面六十面體	星形多面體	60	120	32	I_h, [5,3], (*532)	大十二面二十面體
小六角星六十面體（英語：Small hexagrammic hexecontahedron）	星形多面體	60	180	112	I_h, [5,3], (*532)	小反屈扭稜二十面截半二十面體
小三角六邊形二十面體	星形多面體	20	60	32	I_h, [5,3], (*532)	小雙三斜三十二面體
內側三角六邊形二十面體	星形多面體	20	60	24	I_h, [5,3], (*532)	雙三斜十二面體
大三角六邊形二十面體	星形多面體	20	60	32	I_h, [5,3], (*532)	大雙三斜三十二面體
小十二角星化六十面體（維基數據所列：Q18048505）	星形多面體	60	120	44	I_h, [5,3], (*532)	小十二面截半二十面體
小星形菱形十二面體（英語：Small rhombidodecacron）	星形多面體	60	120	42	I_h, [5,3], (*532)	小斜方十二面體
大五角化十二面體	星形多面體	60	90	24	I_h, [5,3], (*532)	小星形截角十二面體
大星形五角化十二面體	星形多面體	60	90	32	I_h, [5,3], (*532)	截角大二十面體
小二十角星化六十面體（英語：Small icosacronic hexecontahedron）	星形多面體	60	120	52	I_h, [5,3], (*532)	小二十面化截半二十面體
小雙三角十二角星化六十面體（英語：Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）	星形多面體	60	120	44	I_h, [5,3], (*532)	小雙三角十二面截半二十面體
小十二面二十面六十面體（英語：Small dodecicosacron）	星形多面體	60	120	32	I_h, [5,3], (*532)	小十二面二十面體
大三角化二十面體（英語：Great triakis icosahedron）	星形多面體	60	90	32	I_h, [5,3], (*532)	大星形截角十二面體
大二重斜方截半二十面無窮星形六十面體（英語：Great dirhombicosidodecacron）	無窮星形多面體	60	240	124	I_h, [5,3], (*532)	大二重斜方截半二十面體
大六角六十面體（英語：Great hexagonal hexecontahedron）	星形多面體	60	180	104	I_h, [5,3], (*532)	大扭稜十二面截半二十面體
大二重扭稜二重斜方十二面無窮星形六十面體（維基數據所列：Q18048492）	無窮星形多面體	60	360	204	I_h, [5,3], (*532)	大二重扭稜二重斜方十二面體
三重二方二十面體（英語：Tridyakis icosahedron）	星形多面體	120	180	44	I_h, [5,3], (*532)	二十面截角十二面十二面體
內側雙二方三十面體（英語：Medial disdyakis triacontahedron）	星形多面體	120	180	54	I_h, [5,3], (*532)	截角截半大十二面體
大四角化菱形三十面體（維基數據所列：Q18048490）	星形多面體	120	180	62	I_h, [5,3], (*532)	大截角截半二十面體
中五角六十面體（英語：Medial pentagonal hexecontahedron）	星形多面體	60	150	84	I_h, [5,3], (*532)	扭稜小星形十二面體
中六角六十面體（英語：Medial hexagonal hexecontahedron）	星形多面體	60	180	104	I_h, [5,3], (*532)	扭稜二十面化截半大十二面體
大五角六十面體（英語：Great pentagonal hexecontahedron）	星形多面體	60	150	92	I_h, [5,3], (*532)	扭稜大星形十二面體
大逆五角六十面體（維基數據所列：Q18048506）	星形多面體	60	150	92	I_h, [5,3], (*532)	反扭稜大星形十二面體
中逆五角六十面體（英語：Medial inverted pentagonal hexecontahedron）	星形多面體	60	150	84	I_h, [5,3], (*532)	反扭稜小星形十二面體
大五角星六十面體（英語：Great pentagrammic hexecontahedron）	星形多面體	60	150	92	I_h, [5,3], (*532)	大反屈扭稜截半二十面體

參見

均勻多面體

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208
^ Gailiunas, P.; Sharp, J., Duality of polyhedra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2005, 36 (6): 617–642, S2CID 120818796, doi:10.1080/00207390500064049
^ Fleurent, GM. Symmetry and polyhedral stellation—Ib. Symmetry 2 (Elsevier). 1989: 177–193.
^ Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
^ Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
^ Weisstein, Eric W. Dipyramid. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2023-06-20）（英語）.
^ Weisstein, Eric W. Antiprism. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2019-05-02）（英語）.
^ Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., Mathematical Models（英語：Mathematical Models (Cundy and Rollett)） 2nd, Oxford: Clarendon Press, 1961, MR 0124167
^ Cundy & Rollett (1961)^[8], p. 117
^ Wenninger (1983)^[1], p. 30
^ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2023-07-03）（英語）.
^ Weisstein, Eric W. Dual Polyhedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2020-10-30）（英語）.

[Wenninger_1983-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208

[2] Gailiunas, P.; Sharp, J., Duality of polyhedra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2005, 36 (6): 617–642, S2CID 120818796, doi:10.1080/00207390500064049

[incollection_fleurent1989symmetry-3] Fleurent, GM. Symmetry and polyhedral stellation—Ib. Symmetry 2 (Elsevier). 1989: 177–193.

[4] Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.

[5] Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

[Weisstein_Dipyramid-6] Weisstein, Eric W. Dipyramid. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2023-06-20）（英語）.

[Weisstein_Antiprism-7] Weisstein, Eric W. Antiprism. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2019-05-02）（英語）.

[Cundy_&_Rollett_(1961)-8] Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., Mathematical Models（英語：Mathematical Models (Cundy and Rollett)） 2nd, Oxford: Clarendon Press, 1961, MR 0124167

[9] Cundy & Rollett (1961)^[8], p. 117

[10] Wenninger (1983)^[1], p. 30

[Weisstein_RhombicDodecahedron-11] Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2023-07-03）（英語）.

[Weisstein_DualPolyhedron-12] Weisstein, Eric W. Dual Polyhedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. （原始內容存檔於2020-10-30）（英語）.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[9]

[10]

[11]

[12]

[8]

部分的均勻多面體對偶
菱形十二面體（卡塔蘭立體）	大菱形三十面體
五方偏方面體（偏方面體）	正八面體（柏拉圖立體）雙四角錐（雙錐體）